YbtOJ-方格填写【插头dp】

正题

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题目大意

给出\(n\times m\)的网格填着\(-1\sim 4\)的数字，对于将所有的\(-1\)填上\(0\sim 4\)的方案中，定义方案\(X\)的权值，设在相邻网格之间连线（每对只能连一条）使得每个网格连出去的边数恰好位数字的方案数为\(f(X)\)，那么权值为\(f^2(X)\)。

求所有方案的权值和，对\(998244353\)取模。

\(1\leq T\leq 10,1\leq n\leq 70,1\leq m\leq 6\)

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解题思路

主要的难点在这个平方处，我们有道经典处理方案数平方的例题[NOI2009]管道取珠，做法就是同时维护两个共线推进的方案，这样每对方案之间都有贡献，方案数就平方了。

但是这样的状态也是平方的，我们需要考虑压缩一下状态，正常来说的插头\(dp\)可能是\(O(5^m)\)的状态，但是注意到每队网格只能连一条边，所以对于每个块最多只能剩下插头数的状态，也就是除了当且枚举快左边那个以外都是\(2\)个状态，这样状态就很少了，只有\(96\)种，直接平方做然后插头\(dp\)转移即可。

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code

#pragma GCC optimize(2)
%:pragma GCC optimize(3)
%:pragma GCC optimize("Ofast")
%:pragma GCC optimize("inline")
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int P=998244353;
int T,n,m,f[2][16384],v[2][16384],s[2][16384],l[2];
int ges(int s,int j,int p)
{return s|((p>1)<<m)|((p>0)<<j);}
void work(int g,int sq,int sp,int w){
	int S=(sq<<m+1)|sp;
	(f[g][S]+=w)%=P;
	if(!v[g][S])v[g][S]=1,s[g][l[g]++]=S;
	return;
}
int main()
{
	freopen("grid.in","r",stdin);
	freopen("grid.out","w",stdout); 
	scanf("%d",&T);
	while(T--){
		scanf("%d%d",&n,&m);
		int g=0,MS=(1<<m+1)-1;
		memset(f,0,sizeof(f));
		memset(v,0,sizeof(v));
		l[1]=0;s[0][0]=0;l[0]=1;
		f[0][0]=1;
		for(int i=0;i<n;i++){
			for(int j=0,lim;j<m;j++){
				scanf("%d",&lim);g^=1;
				for(int p=0;p<l[g];p++)
					v[g][s[g][p]]=f[g][s[g][p]]=0;
				l[g]=0;
				for(int x=0;x<=4;x++){
					if(lim!=-1&&lim!=x)continue;
					for(int p=0;p<l[!g];p++){
						int S=s[!g][p],zq=x,zp=x;
						int sq=S>>m+1,sp=S-(sq<<m+1);
						int kq=(j?((sq>>j-1)&1):0),kp=(j?((sp>>j-1)&1):0);
						zq-=((sq>>m)&1)+((sq>>j)&1);kq-=((sq>>m)&1);
						zp-=((sp>>m)&1)+((sp>>j)&1);kp-=((sp>>m)&1);
						if(zq<0||zp<0)continue;
						sq&=MS^(1<<m)^(1<<j);sp&=MS^(1<<m)^(1<<j);
						for(int rq=0;rq<=kq;rq++)
							for(int rp=0;rp<=kp;rp++){
								if(zq<rq||zp<rp||zq-rq>2||zp-rp>2)continue;
								work(g,ges(sq^(rq<<j-1),j,zq-rq),ges(sp^(rp<<j-1),j,zp-rp),f[!g][S]);
							}
					}
				}
			}
			g^=1;
			for(int p=0;p<l[g];p++)
				v[g][s[g][p]]=f[g][s[g][p]]=0;
			l[g]=0;
			for(int p=0;p<l[!g];p++){
				int S=s[!g][p];
				int sq=S>>m+1,sp=S-(sq<<m+1);
				if(((sq>>m)&1)|((sp>>m)&1))continue;
				work(g,sq,sp,f[!g][S]);
			}
		}
		printf("%d\n",f[g][0]);
	}
	return 0;
}