CF1267G-Game Relics【数学期望,dp】

1|0正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/CF1267G

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1|1题目大意

给出$n$个物品，你可以进行如下操作

• 花费$x$获得随机一个物品。
• 花费$c_i$获得第$i$个物品。

$1\leq n\leq 100,1\leq x\leq 10000,\sum a_i\leq 10^4$

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1|2解题思路

一个显然的策略是我们先roll完再买，所以我们可以分开考虑两部分先。

首先假设我们roll到了$x$个物品，显然所有大小为$x$的物品集合都是等概率出现的。而至于roll出$x$个物品的期望花费我们也很好算。

但是我们显然很难从一种情况下的下一步方案考虑，因为能到达每个方案的期望都是不同的，而我们不可能记录所有方案。

但是有一个很巧妙的方法，我们花钱也可以视为随意$roll$物品，假设目前没有获得的物品费用和为$s$，个数为$k$，那么我们就可以视为花费$\frac{s}{k}$的期望随机$roll$出一个物品。

此时两种方案造成的结果都是多一个随机未获得物品，但是花费不同，我们直接取$min$即可。

那么现在的做法已经很显然了，设$f_{i,j}$表示$i$个物品的集合中花费和为$j$的概率，然后考虑两种方案的哪个更优就好了。

时间复杂度：$O(n\sum a_i)$

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1|3code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
int n,sum;
double ans,x,f[110][110000];
int main()
{
	scanf("%d%lf",&n,&x);x/=2.0;
	f[0][0]=1;
	for(int i=1,a;i<=n;i++){
		scanf("%d",&a);sum+=a;
		for(int j=i;j>=1;j--)
			for(int k=sum;k>=a;k--)
				f[j][k]+=f[j-1][k-a]*j/double(n-j+1);
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=0;j<=sum;j++)
			if(f[i][j]!=0.0)
				ans=(ans+f[i][j]*min(((double)n/i+1.0)*x,(double)j/i));
	printf("%.12lf\n",ans);
	return 0;
}

__EOF__

本文作者：QuantAsk
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