51nod-动物与游戏【树链剖分,线段树】

正题

题目链接:http://www.51nod.com/Contest/Problem.html#contestProblemId=3957

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题目大意

\(n\)个点的一棵树，第\(i\)个节点上的动物有\(\frac{a_i}{100}\)的概率加入，每个加入的动物都会每秒向父节点移动。

对于第\(i\)只动物，如果它到达一个节点时还没有其他动物比他早来过，那么它的权值加一。

现在对于每一只动物求它参加的话它的期望权值。

\(1\leq n\leq 10^5,1\leq a_i\leq 100\)

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解题思路

考虑一个动物\(x\)能拿到一个节点\(y\)的权值的条件，也就是\(y\)的子树中深度比\(x\)小的动物都不参赛的概率。

也就是对于一个动物\(x\)，动物\(z\)能对它产生影响首先要求\(dep_z<dep_x\)，并且只会从\(LCA(x,z)\)处向上开始产生影响。

发现一个特点是从\(LCA\)处产生影响，这就和[LNOI2014]LCA很像了，我们对于会产生影响的\(z\)把它到根节点上的路径都修改了，然后直接询问\(x\)到根节点路径上的权值就好了。

至于\(dep_z<dep_x\)这个条件我们把所有节点按照深度从小到大排序然后处理即可。

时间复杂度：\(O(n\log^2 n)\)

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=1e5+10,P=998244353;
struct node{
	ll to,next;
}a[N<<1];
ll n,tot,cnt,inv100,fa[N],ls[N],c[N],p[N],ans[N];
ll siz[N],dep[N],son[N],top[N],seq[N],id[N];
ll power(ll x,ll b){
	ll ans=1;
	while(b){
		if(b&1)ans=ans*x%P;
		x=x*x%P;b>>=1;
	}
	return ans;
}
void addl(ll x,ll y){
	a[++tot].to=y;
	a[tot].next=ls[x];
	ls[x]=tot;return;
}
struct Seq_Tree{
	ll w[N<<2],lazy[N<<2];
	void Downdata(ll x){
		if(lazy[x]==1)return;
		w[x*2]=w[x*2]*lazy[x]%P;
		w[x*2+1]=w[x*2+1]*lazy[x]%P;
		lazy[x*2]=lazy[x*2]*lazy[x]%P;
		lazy[x*2+1]=lazy[x*2+1]*lazy[x]%P;
		lazy[x]=1;return;
	}
	void Build(ll x,ll L,ll R){
		lazy[x]=1;
		if(L==R){w[x]=1;return;}
		ll mid=(L+R)>>1;
		Build(x*2,L,mid);
		Build(x*2+1,mid+1,R);
		w[x]=w[x*2]+w[x*2+1];
	}
	void Change(ll x,ll L,ll R,ll l,ll r,ll val){
		if(L==l&&R==r){w[x]=w[x]*val%P;lazy[x]=lazy[x]*val%P;return;}
		ll mid=(L+R)>>1;Downdata(x);
		if(r<=mid)Change(x*2,L,mid,l,r,val);
		else if(l>mid)Change(x*2+1,mid+1,R,l,r,val);
		else Change(x*2,L,mid,l,mid,val),Change(x*2+1,mid+1,R,mid+1,r,val);
		w[x]=(w[x*2]+w[x*2+1])%P;
	}
	ll Ask(ll x,ll L,ll R,ll l,ll r){
		if(L==l&&R==r)return w[x];
		ll mid=(L+R)>>1;Downdata(x);
		if(r<=mid)return Ask(x*2,L,mid,l,r);
		if(l>mid)return Ask(x*2+1,mid+1,R,l,r);
		return (Ask(x*2,L,mid,l,mid)+Ask(x*2+1,mid+1,R,mid+1,r))%P;
	}
}T;
void dfs1(ll x){
	siz[x]=1;dep[x]=dep[fa[x]]+1;
	for(ll i=ls[x];i;i=a[i].next){
		ll y=a[i].to;
		if(y==fa[x])continue;
		fa[y]=x;dfs1(y);
		siz[x]+=siz[y];
		if(siz[y]>siz[son[x]])son[x]=y;
	}
	return;
}
void dfs2(ll x){
	id[x]=++cnt;seq[cnt]=x;
	if(son[x]){
		top[son[x]]=top[x];
		dfs2(son[x]);
	}
	for(ll i=ls[x];i;i=a[i].next){
		ll y=a[i].to;
		if(y==son[x]||y==fa[x]) continue;
		top[y]=y;dfs2(y);
	}
}
void Updata(ll x,ll val){
	while(x){
		T.Change(1,1,n,id[top[x]],id[x],val);
		x=fa[top[x]];
	}
	return;
}
ll Ask(ll x){
	ll ans=0;
	while(x){
		(ans+=T.Ask(1,1,n,id[top[x]],id[x]))%=P;
		x=fa[top[x]];
	}
	return ans;
}
bool cmp(ll x,ll y)
{return dep[x]<dep[y];}
signed main()
{
	inv100=power(100,P-2);
	scanf("%lld",&n);
	for(ll i=1;i<=n;i++){
		scanf("%lld",&c[i]);p[i]=i;
		c[i]=(100-c[i])*inv100%P;
	}
	for(ll i=1;i<n;i++){
		ll x,y;
		scanf("%lld%lld",&x,&y);
		addl(x,y);addl(y,x);
	}
	dfs1(1);top[1]=1;dfs2(1);
	sort(p+1,p+1+n,cmp);
	T.Build(1,1,n);
	for(ll i=2,l=1;i<=n+1;i++){
		if(dep[p[i]]!=dep[p[i-1]]){
			ll r=i-1;
			for(ll j=l;j<=r;j++)
				ans[p[j]]=Ask(p[j]);
			for(ll j=l;j<=r;j++)
				Updata(p[j],c[p[j]]);
			l=i;
		}
	}
	for(ll i=1;i<=n;i++)
		printf("%lld\n",ans[i]);
	return 0;
}