Loj#6039-「雅礼集训 2017 Day5」珠宝【四边形不等式,dp】
正题
题目大意
有\(n\)个物品，第\(i\)个费用为\(w_i\)，价值为\(v_i\)，对于\(k\in[1,m]\)求费用为\(m\)时能获得的最大价值。
\(1\leq n\leq 10^6,1\leq m\leq 5\times 10^4,1\leq w_i\leq 300,1\leq v_i\leq 10^9\)
解题思路
好早以前写的不过不知道为啥错了，现在来补个新的。
\(w_i\)很小，考虑以其为突破口，显然地我们可以把\(w_i\)相同的按照\(v_i\)从大到小排序，那么对于每个\(w_i\)，我们就可以选择若干个。
设\(f_{i,j}\)表示做到\(w=i\)时费用为\(j\)的最大价值和，那么有
\[f_{i,j}=f_{i-1,j-ki}+s_{i,z}
\]
（\(s_{i,z}\)表示\(w=i\)的物品中前\(z\)大的价值和）
这个式子很难用常规的优化，但是可以用四边形不等式。至于证明，我们有\(w_{i,j}=s_{j-i}\)
要证明
\[w_{i,j}+w_{i+1,j+1}\geq w_{i,j+1}+w_{i+1,j}
\]
\[s_{j-i}+s_{j-i}\geq s_{j-i+1}+s_{j-i-1}
\]
然后因为\(s_{i+1}-s_{i}\)是递减的，所以成立。
那么我们现在对于每个枚举的\(w=i\)，把所有的\(ik+j(\ j\in[0,i)\ )\)都分成一组。
然后对于每一组我们都用四边形不等式优化，不过我忘了优化的方法了，还是记一下吧：
对于所有的可能的决策我们用一个单调队列记录，顺带记录\(z_i\)表示队列里第\(i\)个决策和第\(i+1\)个决策的交叉点（在\(z_i\)之前\(q_{i}\)更优，\(z_i\)以之后\(q_{i+1}\)更优）。
然后每次弹出队列前面的来找答案，加入的时候我们就二分出队尾和新加入的决策交换点，然后一直弹尾部直到不交叉。
时间复杂度：\(O(mw\log m)\)
code
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<vector>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=5e4+10;
ll n,m,g,f[2][N],q[N],z[N];
vector<ll> w[310];
bool cmp(ll x,ll y)
{return x>y;}
ll calc(ll i,ll j,ll p,ll k)
{return f[!g][i*p+k]+w[p][j-i-1];}
ll bound(ll i,ll j,ll p,ll k){
ll l=i+1,r=(m-k)/p;
while(l<=r){
ll mid=(l+r)>>1;
if(calc(i,mid,p,k)<calc(j,mid,p,k))
l=mid+1;
else r=mid-1;
}
return l;
}
signed main()
{
freopen("jewelry.in","r",stdin);
freopen("jewelry.out","w",stdout);
scanf("%lld%lld",&n,&m);
for(ll i=1,c,v;i<=n;i++){
scanf("%lld%lld",&c,&v);
w[c].push_back(v);
}
g=0;
for(ll p=1;p<=300;p++){
if(w[p].empty())continue;g^=1;
memcpy(f[g],f[!g],sizeof(f[g]));
// memset(f[g],0,sizeof(f[g]));
sort(w[p].begin(),w[p].end(),cmp);
while(w[p].size()<=m/p)w[p].push_back(0);
for(ll i=1;i<w[p].size();i++)w[p][i]+=w[p][i-1];
for(ll k=0;k<p;k++){
ll head=1,tail=0;
for(ll i=0;i*p+k<=m;i++){
while(head<tail&&z[head]<=i)head++;
if(head<=tail)f[g][i*p+k]=max(f[g][i*p+k],calc(q[head],i,p,k));
while(head<tail&&z[tail-1]>=bound(i,q[tail],p,k))tail--;
z[tail]=bound(i,q[tail],p,k);q[++tail]=i;
}
}
}
for(ll i=1;i<=m;i++)
printf("%lld ",f[g][i]);
return 0;
}
