P6478-[NOI Online #2 提高组]游戏【dp,二项式反演】

正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P6478

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题目大意

给出\(2m\)个点的一棵树，有\(m\)个白点\(m\)个黑点。

每个白点匹配一个黑点。

对于每个\(k\in[0,m]\)求恰好有\(k\)个匹配存在祖孙关系的方案。

答案对\(998244353\)取模。

\(1\leq n\leq 5000\)

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解题思路

先考虑一个基础的树形\(dp\)，设\(f_{x,i}\)表示\(x\)的子树中已经选出了\(i\)对有祖孙关系的匹配的方案。

这个\(dp\)我们可以通过枚举子树大小的方式做到\(O(n^2)\)转移。

假设\(g_i\)表示恰好有\(i\)个祖孙关系的方案，那么我们就有（以下的\(f_i\)都表示\(f_{1,i}\)）

\[(n-i)!f_i=\sum_{j=i}^mg_j\binom{j}{i} \]

然后二项式反演就是

\[g_i=\sum_{j=i}^m(-1)^{j-i}\binom{j}{i}(n-j)!f_j \]

时间复杂度：\(O(n^2)\)

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=5100,P=998244353;
struct node{
	ll to,next;
}a[N<<1];
ll n,tot,ls[N],f[N][N/2],g[N/2],h[N],s0[N],s1[N],fac[N],inv[N];
char s[N];
void addl(ll x,ll y){
	a[++tot].to=y;
	a[tot].next=ls[x];
	ls[x]=tot;return;
}
void dfs(ll x,ll fa){
	f[x][0]=1;
	for(ll i=ls[x];i;i=a[i].next){
		ll y=a[i].to;
		if(y==fa)continue;dfs(y,x);
		for(ll j=0;j<=min(s0[x],s1[x]);j++)
			for(ll k=0;k<=min(s0[y],s1[y]);k++)
				(g[j+k]+=f[x][j]*f[y][k]%P)%=P;
		s0[x]+=s0[y];s1[x]+=s1[y];
		for(ll j=0;j<=min(s0[x],s1[x]);j++)
			f[x][j]=g[j],g[j]=0;
	}
	if(s[x]=='0'){
		s0[x]++;
		for(ll i=min(s0[x],s1[x]);i>=0;i--)
			(f[x][i+1]+=f[x][i]*(s1[x]-i))%=P;
	}
	else{
		s1[x]++;
		for(ll i=min(s0[x],s1[x]);i>=0;i--)
			(f[x][i+1]+=f[x][i]*(s0[x]-i))%=P;
	}
	return;
}
ll C(ll n,ll m)
{return fac[n]*inv[m]%P*inv[n-m]%P;}
signed main()
{
	fac[0]=inv[0]=inv[1]=1;
	for(ll i=2;i<N;i++)inv[i]=P-inv[P%i]*(P/i)%P;
	for(ll i=1;i<N;i++)fac[i]=fac[i-1]*i%P,inv[i]=inv[i-1]*inv[i]%P;
	scanf("%lld",&n);
	scanf("%s",s+1);
	for(ll i=1,x,y;i<n;i++){
		scanf("%lld%lld",&x,&y);
		addl(x,y);addl(y,x);
	}
	dfs(1,0);ll m=n>>1;
	for(ll i=0;i<=m;i++)h[i]=f[1][i]*fac[m-i]%P;
	for(ll i=0;i<=m;i++){
//		h[i]=f[1][i]*fac[m-i]%P;
		for(ll j=i+1;j<=m;j++)
			(h[i]+=h[j]*C(j,i)*(((j-i)&1)?(-1):1)%P)%=P;
//		h[i]=h[i]*fac[m-i]%P;
	}
//	for(ll i=0;i<=m;i++)
//		h[i]=(h[i]-h[i+1]+P)%P;
	for(ll i=0;i<=m;i++)
		printf("%lld\n",(h[i]+P)%P);
	return 0;
}