CF889E-Mod Mod Mod【dp】

1|0正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/CF889E

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1|1题目大意

给出一个长度为$n$的序列$a$，定义函数$f(i,x)$有

$$f(n,x)=x\bmod a_n$$

$$f(i,x)=(x\bmod a_i)+f(x\bmod a_i)(i<n)$$

求最大的$f(1,x)$。
$1\leq n\leq 2\times 10^5,1\leq a_i\leq 10^{13}$

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1|2解题思路

考虑到最优解中我们肯定存在某次取模$a_i$后得到的是$a_i-1$，不然全部加$1$肯定更优。那么同样的每个前缀的最优答案都满足如下性质。

拿第一次来距离，就是说$[0,a_1)$中最优的是$a_1$，由于答案递减，那么还没有减去的值（目前的$x$）可能影响到后面的状态，那么我们考虑维护$f_{i,j}$表示目前的$x=j$时已经被膜去的值贡献为$f_{i,j}$，也就是答案目前为$i\times j+f_{i,j}$。

那么这个转移来说我们就可以大胆地有$f_{i,j}=max\{f_{i,k}\}(k\geq j)$了，也就是开始时可以设$f_{i,a_1-1}=1$，会发现这样来转移的话最多只有$n$个有用的值（前缀最大）。

转移的时候统计上减少的值对前面的贡献即可，用一个$map$存下所有的有用位置和值进行转移就好了，因为一个数字被模之后至少减少一半所以一个数字操作次数为$\log a_i$次。

时间复杂度：$O(n\log n\log a_i)$

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1|3code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<map>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=2e5+10;
ll n,ans;map<ll,ll> f;
map<ll,ll>::iterator it;
signed main()
{
	scanf("%lld",&n);
	for(ll i=1,x;i<=n;i++){
		scanf("%lld",&x);
		if(i==1)f[x-1]=0;
		else{
			for(it=f.lower_bound(x);it!=f.end();f.erase(it++)){
				ll j=(*it).first,w=(*it).second;
				f[j%x]=max(f[j%x],w+(i-1)*(j-j%x));
				f[x-1]=max(f[x-1],w+(i-1)*((j+1)/x*x-x));
			}
		}
	}
	for(it=f.begin();it!=f.end();it++)
		ans=max(ans,(*it).first*n+(*it).second);
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}

__EOF__

本文作者：QuantAsk
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