AT2371-[AGC013E]Placing Squares【矩阵乘法】

1|0正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/AT2371

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1|1题目大意

给出$n$和$m$个数$b$。
求所有满足以下要求的序列$a$

1. 和为$n$
2. 对于所有$b_i$不存在任何一个前缀和为$b_i$。

一个序列的贡献为所有数的二次方和，求所有合法序列的贡献。

$1\leq n\leq 10^9,1\leq m\leq 10^5$

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1|2解题思路

它要是$n$开到$10^{18}$我就会了（雾）

显然地我们是到每个$m$处然后容斥，所以如果这么想你就错了

这个平方很难统计，考虑转换成另一个模型，在分出的每一段中选出两个位置（有序，可重）放上一个红球和一个蓝球，求方案数。

那么我们就有一个$dp$的想法，设$f_{i,j}$表示表示目前到第$i$个位置，目前最后的一段已经放了$j$个球了，当两个球位置不同时的转移乘二即可。

这样在有限制的位置和没有限制的位置就分别有了两个转移矩阵，分成$m$段乘起来就好了。

时间复杂度：$O(m\log n)$

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1|3code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll S=3,P=1e9+7;
struct Matrix{
	ll a[S][S];
}c,f,g,ans;
ll n,m;
Matrix operator*(const Matrix &a,const Matrix &b){
	memset(c.a,0,sizeof(c.a));
	for(ll i=0;i<S;i++)
		for(ll j=0;j<S;j++)
			for(ll k=0;k<S;k++)
				(c.a[i][j]+=a.a[i][k]*b.a[k][j]%P)%=P;
	return c;
}
void power(Matrix x,ll b){
	while(b){
		if(b&1)ans=ans*x;
		x=x*x;b>>=1;
	}
	return;
}
signed main()
{
	scanf("%lld%lld",&n,&m);
	f.a[0][0]=2;f.a[0][1]=1;f.a[0][2]=1;
	f.a[1][1]=1;f.a[1][2]=2;f.a[1][0]=2;
	f.a[2][2]=1;f.a[2][0]=1;
	g=f;g.a[0][0]=1;g.a[1][0]=0;g.a[2][0]=0;
	ll last=0;ans.a[0][0]=1;
	for(ll i=1,x;i<=m;i++){
		scanf("%lld",&x);
		power(f,x-last-1);
		ans=ans*g;
//		ans.a[0][0]*=-1;
		last=x;
	}
	power(f,n-last);
	printf("%lld\n",ans.a[0][2]);
	return 0;
}

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本文作者：QuantAsk
本文链接：https://www.cnblogs.com/QuantAsk/p/15616016.html
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