AT4437-[AGC028C]Min Cost Cycle【结论,堆】

1|0正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/AT4437

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1|1题目大意

有$n$个点的一张有向完全图，每个点有两个点权$a,b$。连接$x,y$两个点的边权为$min\{a_x,b_y\}$，求一条权值和最小的哈密顿回路。

$1\leq n\leq 10^5,1\leq a,b\leq 10^9$

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1|2解题思路

又是$min$又是权值最小，我们可以把问题转换为从$x$走到$y$的权值可以选择$a_x$或者$b_y$，然后求最小的权值和。

一个暴力的想法是对于每个$a_x$对应一个$b_y$来匹配，但是这样很显然容易导致选出的是若干个小环。

我们可以考虑具体一个点的贡献，我们根据$a$和$b$是否产生了贡献记为一个二进制位，那么每个点的贡献有$00,01,10,11$，考虑什么时候一个方案合法。

把每个$a/b$视为一个二分图，并且$a_i$向$b_i$连边，然后我们之后连的边中要求两个端点恰好有一个$1$，确立如下图所示规则：

1. $11+00=10/01/ring$
2. $01+01=01/ring$，同理有$10+10=10/ring$
3. $00+01/10=00$
4. $11+01/10=11$

不难发现一个合法的构造只有两种情况

1. 全部都是$01$或者$10$
2. $00$和$11$各有$k(k\geq 1)$个，其余$01/10$任意

第一种情况直接计算

第二种情况我们对于每一个默认为$01/10$中权值最小的一个，然后一个$01/10\rightarrow 11(ans+max\{a_i,b_i\})$，一个$01/10\rightarrow 00(ans-min\{a_i,b_i\})$，我们可以用两个堆分别维护$max\{a_i,b_i\}$和$min\{a_i,b_i\}$

需要注意的是由于第二种情况至少需要一个$00/11$所以就算第一次会让答案变大也得变，而且有可能出现第一次选择的$max\{a_i,b_i\}$和$min\{a_i,b_i\}$是同一个$i$，需要特判。

时间复杂度：$O(n\log n)$

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1|3code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<queue>
#define mp(x,y) make_pair(x,y)
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=1e5+10;
ll n,a[N],b[N],ans1,ans2,ans;
priority_queue<pair<ll,ll> > q1,q2;
signed main()
{
	scanf("%lld",&n);
	for(ll i=1;i<=n;i++){
		scanf("%lld%lld",&a[i],&b[i]);
		ans1+=a[i];ans2+=b[i];
		q1.push(mp(min(a[i],b[i]),i));
		q2.push(mp(-max(a[i],b[i]),i));
		ans+=min(a[i],b[i]);
	}
	pair<ll,ll> x=q1.top(),y=q2.top();
	if(x.second==y.second){
		q1.pop();q2.pop();
		pair<ll,ll> l=q1.top(),r=q2.top();
		ans+=min(-r.first-x.first,-y.first-l.first);
	}
	else{
		q1.pop();q2.pop();
		ans+=-y.first-x.first;
		while(1){
			ll x=q1.top().first,y=-q2.top().first;
			q1.pop();q2.pop();
			if(x<=y)break;
			ans+=y-x;
		}
	}
	printf("%lld\n",min(ans,min(ans1,ans2)));
	return 0;
}

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本文作者：QuantAsk
本文链接：https://www.cnblogs.com/QuantAsk/p/15561675.html
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