51nod1227-平均最小公倍数【杜教筛,欧拉函数】

1|0正题

题目链接:http://www.51nod.com/Challenge/Problem.html#problemId=1227

1|1题目大意

定义

F (a) = \frac{\sum_{i = 1}^{a} l c m (a, i)}{a}

$F(a)=\frac{\sum_{i=1}^a lcm(a,i)}{a}$

给出 $l,r$ 求 $\sum_{i=l}^rF(i)$

1|2解题思路

好久没做数论题了
直接拆成两个前缀和的差，然后有

\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{i} \frac{j}{g c d (i, j)}

$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^i\frac{j}{gcd(i,j)}$

\sum_{d = 1}^{n} \frac{1}{d} \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{i} j [g c d (i, j) = d]

$\sum_{d=1}^n\frac{1}{d}\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^ij[gcd(i,j)=d]$

\sum_{d = 1}^{n} \sum_{i = 1}^{⌊ \frac{n}{d} ⌋} \sum_{j = 1}^{i} j [g c d (i, j) = 1]

$\sum_{d=1}^n\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}\sum_{j=1}^{i}j[gcd(i,j)=1]$

\frac{1}{2} + \sum_{d = 1}^{n} \sum_{i = 1}^{⌊ \frac{n}{d} ⌋} \frac{φ (i) i}{2}

$\frac{1}{2}+\sum_{d=1}^n\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}\frac{\varphi(i)i}{2}$

函数 $H(n)=\varphi(n)n$ 可以用杜教筛， $H\times id$ 就可以得到 $n^2$ 的函数。

1|3code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<map>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=5e6,P=1e9+7;
ll cnt,pri[N/10],phi[N];
bool v[N];map<ll,ll> mp;
void Prime(){
	phi[1]=1;
	for(ll i=2;i<N;i++){
		if(!v[i])pri[++cnt]=i,phi[i]=i-1;
		for(ll j=1;j<=cnt&&i*pri[j]<N;j++){
			v[i*pri[j]]=1;
			if(i%pri[j]==0){
				phi[i*pri[j]]=phi[i]*pri[j];
				break;
			}
			phi[i*pri[j]]=phi[i]*(pri[j]-1);
		}
	}
	for(ll i=1;i<N;i++)
		phi[i]=(phi[i]*i+phi[i-1])%P;
	return;
}
ll GetS(ll n)
{return n*(n+1)/2%P;}
ll GetSS(ll n)
{return n*(n+1)%P*(2*n+1)%P*((P+1)/6)%P;}
ll GetPhi(ll n){
	if(n<N)return phi[n];
	if(mp[n])return mp[n];
	ll ans=GetSS(n);
	for(ll l=2,r;l<=n;l=r+1){
		r=n/(n/l);
		(ans-=GetPhi(n/l)*(GetS(r)-GetS(l-1))%P)%=P;
	}
	mp[n]=ans;
	return ans;
}
ll solve(ll n){
	ll ans=0;
	if(!n)return 0;
	for(ll l=1,r;l<=n;l=r+1){
		r=n/(n/l);
		(ans+=(GetPhi(n/l)+1)*(r-l+1)%P)%=P;
	}
	return ans*((P+1)/2)%P;
}
signed main()
{
	ll l,r,ans;Prime();
	scanf("%lld%lld",&l,&r);
	ans=(solve(r)-solve(l-1))%P;
	printf("%lld\n",(ans+P)%P);
	return 0;
}

__EOF__

本文作者：QuantAsk
本文链接：https://www.cnblogs.com/QuantAsk/p/15531101.html
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