AT2070-[ARC061D]3人でカードゲーム/Card Game for Three【计数,组合数学】

1|0正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/AT2070

1|1题目大意

有三堆卡牌各有 $n,m,k$ 张，每张上写了 $a/b/c$ ，对于第 $1/2/3$ 堆卡牌。然后开始从第一堆拿牌，然后根据拿到的牌在对应的堆拿牌。

如果到一堆拿牌时没有牌就结束，求第一张牌结束的方案数。

$1\leq n,m,k\leq 3\times 10^5$

1|2解题思路

显然牌的序列我们不是很好处理因为不是顺序拿的，我们可以操作每次取的堆的编号序列。

显然它的长度不是固定的，我们枚举其长度 $n+i$ （也就是除了 $n$ 个 $1$ 以外有 $i$ 个其他的）。

然后答案就是

\sum_{i = 0}^{m + k} 3^{m + k - i} (\binom{n + i - 1}{i}) \sum_{i - k \leq j \leq m} (\binom{i}{j})

$\sum_{i=0}^{m+k}3^{m+k-i}\binom{n+i-1}{i}\sum_{i-k\leq j\leq m}\binom{i}{j}$

后面那个很难处理但是注意到区间的范围是每次向前移动，而且上面那个值是每次加一，暴力拆开

\sum_{i - k \leq j \leq m} (\binom{i}{j}) = \sum_{i - k \leq j \leq m} (\binom{i - 1}{j - 1}) + (\binom{i - 1}{j})

$\sum_{i-k\leq j\leq m}\binom{i}{j}=\sum_{i-k\leq j\leq m}\binom{i-1}{j-1}+\binom{i-1}{j}$

\Rightarrow 2 \sum_{i - 1 - k \leq j \leq m} (\binom{i - 1}{j}) - (\binom{i - 1}{i - 1 - k}) - (\binom{i - 1}{m})

$\Rightarrow 2\sum_{i-1-k\leq j\leq m}\binom{i-1}{j}-\binom{i-1}{i-1-k}-\binom{i-1}{m}$

然后就可以 $O(n)$ 递推了。

时间复杂度： $O(n+m+k)$

1|3code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=1e6+10,P=1e9+7;
ll n,m,k,ans,fac[N],inv[N],s[N],pw[N];
ll C(ll n,ll m)
{return fac[n]*inv[m]%P*inv[n-m]%P;}
signed main()
{
	fac[0]=inv[0]=inv[1]=pw[0]=1;
	for(ll i=1;i<N;i++)pw[i]=pw[i-1]*3ll%P;
	for(ll i=2;i<N;i++)inv[i]=P-inv[P%i]*(P/i)%P;
	for(ll i=1;i<N;i++)fac[i]=fac[i-1]*i%P,inv[i]=inv[i-1]*inv[i]%P;
	scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&k);s[0]=1;ans=pw[m+k];
	for(ll i=1;i<=m+k;i++){
		s[i]=2*s[i-1]%P;
		if(i>m)(s[i]+=P-C(i-1,m))%=P;
		if(i>k)(s[i]+=P-C(i-1,i-k-1))%=P;
		(ans+=C(n+i-1,i)*s[i]%P*pw[m+k-i])%=P;
	}
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}

__EOF__

本文作者：QuantAsk
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