AT2070-[ARC061D]3人でカードゲーム/Card Game for Three【计数,组合数学】

正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/AT2070

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题目大意

有三堆卡牌各有\(n,m,k\)张，每张上写了\(a/b/c\)，对于第\(1/2/3\)堆卡牌。然后开始从第一堆拿牌，然后根据拿到的牌在对应的堆拿牌。

如果到一堆拿牌时没有牌就结束，求第一张牌结束的方案数。

\(1\leq n,m,k\leq 3\times 10^5\)

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解题思路

显然牌的序列我们不是很好处理因为不是顺序拿的，我们可以操作每次取的堆的编号序列。

显然它的长度不是固定的，我们枚举其长度\(n+i\)（也就是除了\(n\)个\(1\)以外有\(i\)个其他的）。

然后答案就是

\[\sum_{i=0}^{m+k}3^{m+k-i}\binom{n+i-1}{i}\sum_{i-k\leq j\leq m}\binom{i}{j} \]

后面那个很难处理但是注意到区间的范围是每次向前移动，而且上面那个值是每次加一，暴力拆开

\[\sum_{i-k\leq j\leq m}\binom{i}{j}=\sum_{i-k\leq j\leq m}\binom{i-1}{j-1}+\binom{i-1}{j} \]

\[\Rightarrow 2\sum_{i-1-k\leq j\leq m}\binom{i-1}{j}-\binom{i-1}{i-1-k}-\binom{i-1}{m} \]

然后就可以\(O(n)\)递推了。

时间复杂度：\(O(n+m+k)\)

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=1e6+10,P=1e9+7;
ll n,m,k,ans,fac[N],inv[N],s[N],pw[N];
ll C(ll n,ll m)
{return fac[n]*inv[m]%P*inv[n-m]%P;}
signed main()
{
	fac[0]=inv[0]=inv[1]=pw[0]=1;
	for(ll i=1;i<N;i++)pw[i]=pw[i-1]*3ll%P;
	for(ll i=2;i<N;i++)inv[i]=P-inv[P%i]*(P/i)%P;
	for(ll i=1;i<N;i++)fac[i]=fac[i-1]*i%P,inv[i]=inv[i-1]*inv[i]%P;
	scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&k);s[0]=1;ans=pw[m+k];
	for(ll i=1;i<=m+k;i++){
		s[i]=2*s[i-1]%P;
		if(i>m)(s[i]+=P-C(i-1,m))%=P;
		if(i>k)(s[i]+=P-C(i-1,i-k-1))%=P;
		(ans+=C(n+i-1,i)*s[i]%P*pw[m+k-i])%=P;
	}
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}