AT2370-[AGC013D]Piling Up【dp】

正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/AT2370

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题目大意

有\(n\)个黑白球，但是具体颜色个数不确定，进行\(m\)次操作：拿出一个球然后放入黑白球各一个，再拿出一个球。

求最后颜色序列的种类数。

\(1\leq n,m\leq 3000\)

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解题思路

如果开始的颜色确定那么有个很显然的\(dp\)设\(f_{i,j}\)表示进行了\(i\)次操作还有\(j\)个白球的方案。但是如果开始的不确定我们可能会导致大量的算重。

考虑怎么解决掉算重问题的话，对于一种取出方案，假设白球最多减少了\(x\)，我们就把它计入开始白球有\(x\)个的方案里，也就是当且仅当这个时候存在一个时刻白球个数为\(0\)。

所以多开一维记一下白球有没有到过\(0\)就好了。

时间复杂度：\(O(nm)\)

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=3100,P=1e9+7;
int n,m,f[N][N][2];
int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		f[0][i][0]=1;
	f[0][0][1]=1;
	for(int i=1;i<=m;i++){
		for(int j=0;j<=n;j++){
			if(j>0){
				(f[i][j-1][1]+=f[i-1][j][1])%=P;
				(f[i][j][1]+=f[i-1][j][1])%=P;
				if(j==1)(f[i][j-1][1]+=f[i-1][j][0])%=P;
				else (f[i][j-1][0]+=f[i-1][j][0])%=P;
				if(j==1)(f[i][j][1]+=f[i-1][j][0])%=P;
				else (f[i][j][0]+=f[i-1][j][0])%=P;
			}
			if(j<n){
				(f[i][j+1][1]+=f[i-1][j][1])%=P;
				(f[i][j][1]+=f[i-1][j][1])%=P;
				(f[i][j+1][0]+=f[i-1][j][0])%=P;
				(f[i][j][0]+=f[i-1][j][0])%=P;
			}
		}
	}
	int ans=0;
	for(int i=0;i<=n;i++)
		(ans+=f[m][i][1])%=P;
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}