P6846-[CEOI2019]Amusement Park【状压dp,FWT】

1|0正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P6846

1|1题目大意

给出 $n$ 个点 $m$ 条边的一张有向图，保证两个点之间最多只有一条边。现在你可以取反一些边使得图变为一张 $DAG$ ，求所有方案的取反的边数和。

$1\leq n\leq 18$

1|2解题思路

考虑到对于一种方案取反所有边就是另一种方案，所以每种方案的取反边数的平均值肯定是 $\frac{m}{2}$ ，所以我们只需要统计方案数就好了。

然后再考虑 $dp$ ，朴素的做法是 $O(3^n)$ 的，记 $G_S$ 表示集合 $S$ 是否是独立集那么有

F_{S} = \sum_{T \subseteq S} (- 1)^{| T | + 1} F_{S - T} G_{T}

$F_S=\sum_{T\sube S}(-1)^{|T|+1}F_{S-T}G_T$

然后化成集合幂级数的形式就是

F = F G + 1 \Rightarrow F = \frac{1}{1 - G}

$F=FG+1\Rightarrow F=\frac{1}{1-G}$

至于集合幂级数怎么求逆，定义占位多项式

G_{S, i}^{'} = \sum_{S = 0}^{n} [c o u n t (S) = i] G_{S}

$G'_{S,i}=\sum_{S=0}^n[count(S)=i]G_S$

然后对于每个 $G_S$ 视为一个多项式求逆。

然后求逆可以用 $O(n^2)$ 的反正 $n$ 很小。

对于 $a$ 求逆，首先有 $a^{-1}[x_0]=\frac{1}{a[x_0]}$ ，然后有

\sum_{i = 0}^{n} a [x^{i}] a^{- 1} [x^{n - i}] = 0 \Rightarrow a^{- 1} [x^{n}] = \frac{\sum_{i = 0}^{n - 1} a^{- 1} [x^{i}] a [x^{n - i}]}{a [x^{0}]}

$\sum_{i=0}^na[x^i]a^{-1}[x^{n-i}]=0\Rightarrow a^{-1}[x^n]=\frac{\sum_{i=0}^{n-1}a^{-1}[x^i]a[x^{n-i}]}{a[x^0]}$

这样就可以 $O(n^2)$ 递推了。

时间复杂度： $O(2^nn^2)$

1|3code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=18,P=998244353;
ll n,m,MS,c[1<<N],g[1<<N],F[N+1][1<<N],G[N+1],H[1<<N];
void FWT(ll *f,ll op){
	for(ll p=2;p<=MS;p<<=1)
		for(ll k=0,len=p>>1;k<MS;k+=p)
			for(ll i=k;i<k+len;i++)
				(f[i+len]+=f[i]*op+P)%=P;
	return;
}
signed main()
{
	scanf("%lld%lld",&n,&m);
	for(ll i=1,x,y;i<=m;i++){
		scanf("%lld%lld",&x,&y);
		x--;y--;g[(1<<x)|(1<<y)]=1;
	}
	MS=(1<<n);
	for(ll i=0;i<n;i++)
		for(ll s=0;s<MS;s++)
			if(!((s>>i)&1))g[s^(1<<i)]|=g[s];
	for(ll i=1;i<MS;i++){
		c[i]=c[i-(i&-i)]+1;
		if(!g[i])F[c[i]][i]=(c[i]&1)?1:(P-1);
	}
	F[0][0]=1;
	for(ll i=0;i<=n;i++)FWT(F[i],1);
	for(ll s=0;s<MS;s++){
		for(ll i=0;i<=n;i++)F[i][s]=P-F[i][s];
		G[0]=1;
		for(ll i=1;i<=n;i++){
			G[i]=0;
			for(ll j=1;j<=i;j++)
				(G[i]+=P-G[i-j]*F[j][s]%P)%=P;
		}
		H[s]=G[n];
//		printf("%lld ",G[n]);
	}
	FWT(H,-1);
	printf("%lld\n",(P+1)/2*H[MS-1]%P*m%P);
	return 0;
}

__EOF__

本文作者：QuantAsk
本文链接：https://www.cnblogs.com/QuantAsk/p/15437650.html
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