P1232-[NOI2013]树的计数【思维】

1|0正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P1232

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1|1题目大意

给出$n$个点的树的$dfs$序和$bfs$序，求所有合法的树的平均深度。

$1\leq n\leq 2\times 10^5$

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1|2解题思路

$bfs$应该是最好开始考虑的，因为$bfs$序的深度肯定是递增的，所以可以把$bfs$序分成若干段相同深度的段，注意到$dfs$序对$bfs$序的限制是在同一层内的$dfs$序一定要递增。

记$b_i$表示排在$bfs$序的第$i$个对应的$dfs$序，那么如果$b_i>b_{i+1}$那么处于$i$位置的节点就必须要分层，其他都可以选择分不分层。

然后再考虑$dfs$序的其他限制，考虑$dfs$序上相邻的节点，记$a_i$表示排在$dfs$序的第$i$个对应的$bfs$序。

此时如果$a_i>a_{i+1}$那么显然$i$没有儿子并且$dfs$序直接跳到了其祖先的某个儿子处，不受影响。如果$a_i+1=a_{i+1}$那么此时$i+1$既可能在$i$的同层也可能在$i$的下一层，但是如果$a_{i}+1<a_{i+1}$那么在$a_{i+1}$之前不可能分层，因为如果分了那么肯定会优先$dfs$下一层的节点，所以只有可能是$bfs$位于$a_i\sim a_{i+1}-1$的在同一层。

然后剩下的节点都是既可以分层也可以不分层的，这些点会产生$0.5$的贡献。

时间复杂度：$O(n)$

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1|3code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=2e5+10;
int n,a[N],b[N],A[N],B[N],s[N],ans;
int main()
{
	scanf("%d",&n);ans=4;s[1]=1;s[2]=-1;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		scanf("%d",&a[i]),A[a[i]]=i;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		scanf("%d",&b[i]),B[b[i]]=i;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		a[i]=B[a[i]],b[i]=A[b[i]];
	for(int i=1;i<n;i++)
		if(a[i]+1<a[i+1])s[a[i]]++,s[a[i+1]]--;
	for(int i=1;i<n;i++)
		if(b[i]>b[i+1])s[i]++,s[i+1]--,ans+=2;
	for(int i=1,k=0;i<n;i++)k+=s[i],ans+=k?0:1;
	printf("%.3lf\n",ans/2.0);
	return 0;
}

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本文作者：QuantAsk
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