CF1286D-LCC【动态dp,数学期望】

正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/CF1286D

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题目大意

\(n\)个粒子，第\(i\)个在\(x_i\)，速度是\(v_i\)，有\(\frac{p_i}{100}\)的概率朝左飞，有\(1-\frac{p_i}{100}\)的概率往右飞，求期望第一对粒子碰撞的时间（如果永远没有碰撞则为\(0\)）

\(1\leq n\leq 10^5\)

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解题思路

期望+最小值显然是不能直接搞的，我们可以考虑枚举最小值，因为第一次碰撞的一定是相邻的粒子，所以这样的情况最多只有\(2n\)种。

然后对于一个值作为最小值的时候有些情况是不被允许的，设\(f_{i,0/1}\)表示在被允许情况且\(i\)向左/右的概率，此时每个转移可以写成一个\(2\times 2\)的矩阵，从大到小枚举最小值就可以每次只修改一个矩阵了，动态\(dp\)维护即可。

时间复杂度：\(O(2^3n\log n)\)

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=1e5+10,M=2e6+10,S=2,P=998244353;
struct Matrix{
	ll a[S][S];
}c,f[N],w[N<<2];
struct node{
	ll op,w,x;
	double cw;
}d[N<<1];
ll ans,n,cnt,inv[M],x[N],v[N],p[N];
Matrix operator*(const Matrix &a,const Matrix &b){
	memset(c.a,0,sizeof(c.a));
	for(ll i=0;i<S;i++)
		for(ll j=0;j<S;j++)
			for(ll k=0;k<S;k++)
				(c.a[i][j]+=a.a[i][k]*b.a[k][j]%P)%=P;
	return c;
}
void Change(ll x,ll L,ll R,ll pos,const Matrix &val){
	if(L==R){w[x]=val;return;}
	ll mid=(L+R)>>1;
	if(pos<=mid)Change(x*2,L,mid,pos,val);
	else Change(x*2+1,mid+1,R,pos,val);
	w[x]=w[x*2]*w[x*2+1];return;
}
bool cmp(node x,node y)
{return x.cw>y.cw;}
signed main()
{
	inv[1]=1;
	for(ll i=2;i<=2e6;i++)inv[i]=P-inv[P%i]*(P/i)%P;
	scanf("%lld",&n);
	for(ll i=1;i<=n;i++)
		scanf("%lld%lld%lld",&x[i],&v[i],&p[i]),p[i]=p[i]*inv[100]%P;
	for(ll i=1;i<n;i++)d[++cnt]=(node){0,(x[i+1]-x[i])*inv[v[i]+v[i+1]]%P,i+1,(double)(x[i+1]-x[i])/((double)(v[i]+v[i+1]))};
	f[1].a[0][1]=p[1];f[1].a[0][0]=P+1-p[1];
	Change(1,1,n,1,f[1]);
	for(ll i=1;i<n;i++){
		f[i+1].a[0][1]=p[i+1];
		if(v[i]>v[i+1])d[++cnt]=(node){1,(x[i+1]-x[i])*inv[v[i]-v[i+1]]%P,i+1,(double)(x[i+1]-x[i])/((double)(v[i]-v[i+1]))};
		else f[i+1].a[1][1]=p[i+1];
		if(v[i]<v[i+1])d[++cnt]=(node){-1,(x[i+1]-x[i])*inv[v[i+1]-v[i]]%P,i+1,(double)(x[i+1]-x[i])/((double)(v[i+1]-v[i]))};
		else f[i+1].a[0][0]=P+1-p[i+1];
		Change(1,1,n,i+1,f[i+1]);
	}
	sort(d+1,d+1+cnt,cmp);
	ll last=(w[1].a[0][0]+w[1].a[0][1])%P;
	for(ll i=1;i<=cnt;i++){
		ll x=d[i].x;
		if(d[i].op==0)f[x].a[1][0]=P+1-p[x];
		else if(d[i].op==1)f[x].a[1][1]=p[x];
		else f[x].a[0][0]=P+1-p[x];
		Change(1,1,n,x,f[x]);
		(ans+=(w[1].a[0][0]+w[1].a[0][1]-last+P)%P*d[i].w%P)%=P;
		last=(w[1].a[0][0]+w[1].a[0][1])%P;
	}
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}