2021牛客OI赛前集训营-交替【生成函数】

正题

题目链接:https://ac.nowcoder.com/acm/contest/20108/B

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题目大意

给出一个长度为\(n\)的序列\(a\)，每次

• 如果\(n\)是偶数，则对于所有的\(i<n\)令新的\(a'_i=a'_i+a'_{i+1}\)
• 如果\(n\)是奇数，则对于所有的\(i<n\)令新的\(a'_i=a'_i-a'_{i+1}\)

\(1\leq n\leq 10^5,1\leq a_i\leq 10^9\)

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解题思路

对于一个位置它操作\(k\)次之后肯定可以用后面的若干个数表示，设多项式\(f_k(x)=\sum_{i=0}^{\infty }b_ix^i\)有\(a'_{p}=\sum_{i=0}^nb_i\times a_{p+i}\)。

那么对于这个多项式如果\(n\)是奇数那么有\(f_k(x)=f_{k-1}(x)\times (1+x)\)，否则\(f_k(x)=f_{k-1}(x)\times (1-x)\)。

也就是每次\((1+x)\)和\((1-x)\)交替乘\(n-1\)次，如果\(n\)是奇数，那么

\[f_{n-1}(x)=((1+x)(1-x))^{\frac{n-1}{2}}=(1-x^2)^{\frac{n-1}{2}} \]

用二项式定理拆开暴力算就好了，

如果\(n\)是偶数就直接再乘个\(1+x\)就好了。

时间复杂度：\(O(n)\)

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=1e5+10,P=1e9+7;
ll n,ans,fac[N],inv[N],f[N];
ll C(ll n,ll m)
{return fac[n]*inv[m]%P*inv[n-m]%P;}
signed main()
{
	scanf("%lld",&n);n--;
	inv[0]=inv[1]=fac[0]=1;
	for(ll i=2;i<=n;i++)inv[i]=P-(P/i)*inv[P%i]%P;
	for(ll i=1;i<=n;i++)inv[i]=inv[i-1]*inv[i]%P,fac[i]=fac[i-1]*i%P;
	for(ll i=0;i<=n/2;i++)
		f[i*2]=(i&1)?(P-C(n/2,i)):(C(n/2,i));
	if(n&1){
		for(ll i=n;i>=1;i--)
			f[i]=f[i]+f[i-1];
	}
	for(ll i=0,x;i<=n;i++)
		scanf("%lld",&x),(ans+=f[i]*x%P)%=P;
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}