CF1556F-Sports Betting【状压dp,数学期望】

正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/CF1556F

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题目大意

\(n\)个点的一张竞赛图，每个点有一个权值\(a_i\)，\((i,j)\)之间的边\(i\)连\(j\)的概率是\(\frac{a_i}{a_i+a_j}\)，否则\(j\)连\(i\)。

现在期望有多少个点能走到全图的任意一个点。

\(1\leq n\leq 14,1\leq a_i\leq 10^6\)

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解题思路

考虑状压\(dp\)，首先枚举起点\(p\)，设\(f_{S}\)表示目前只考虑了点集\(S\)且\(p\)都能到达。

那么对于点集\(S\)是任意一张图的概率是\(1\)，然后考虑枚举一个\(p\)能到达的集合\(T\)之后其他点\(p\)都不能到达，为了方便表示下面记\(g_{S,T}\)表示点集\(S\)和\(T\)之间的边都是\(S\)指向\(T\)的概率那么有

\[1=\sum_{T\subseteq S}f_T\times g_{S-T,T} \]

\[\Rightarrow f_S=1-\sum_{T\subset S}f_T\times g_{S-T,T} \]

考虑如何预处理\(g_{S,T}\)，不难发现因为\(S\cap T=\varnothing\)所以这个状态数是\(3^n\)的我们可以用三进制状压，不过得先预处理\(r_{p,S}\)表示\(p\)与集合\(S\)之间的边都是\(p\)连向\(S\)的概率。

时间复杂度：\(O(3^nn+2^nn^2)\)

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=14,M=2e6+10,P=1e9+7;
ll n,ans,inv[M],pw[N+1],a[N],r[N][1<<N],tr[1<<N],f[1<<N],g[4782969];
signed main()
{
	inv[1]=1;
	for(ll i=2;i<M;i++)inv[i]=P-(P/i)*inv[P%i]%P;
	scanf("%lld",&n);
	for(ll i=0;i<n;i++)
		scanf("%lld",&a[i]);
	ll MS=(1<<n);
	for(ll p=0;p<n;p++){
		r[p][0]=1;
		for(ll s=0;s<MS;s++){
			if((s>>p)&1)continue;
			for(ll i=0;i<n;i++)
				if((s>>i)&1){r[p][s]=r[p][s^(1<<i)]*a[p]%P*inv[a[p]+a[i]]%P;break;}
		}
	}
	pw[0]=1;for(ll i=1;i<=n;i++)pw[i]=pw[i-1]*3;
	for(ll s=1;s<MS;s++)
		for(ll i=0;i<n;i++)
			if((s>>i)&1)tr[s]=tr[s^(1<<i)]+pw[i];
	for(ll s=0;s<pw[n];s++)g[s]=1;
	for(ll s=0;s<MS;s++)
		for(ll i=0;i<n;i++){
			if(!((s>>i)&1))continue;
			for(ll t=s;t;t=(t-1)&s){
				if((t>>i)&1)continue;
				(g[tr[s]+tr[t]]*=r[i][t])%=P;
			}
		}
	for(ll p=0;p<n;p++){
		memset(f,0,sizeof(f));
		for(ll s=0;s<MS;s++){
			if(!((s>>p)&1))continue;f[s]=1;
			for(ll t=(s-1)&s;t;t=(t-1)&s){
				if(!((t>>p)&1))continue;
				(f[s]+=P-f[t]*g[tr[s]+tr[t]]%P)%=P;
			}
		}
		(ans+=f[MS-1])%=P;
	}
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}