2021牛客OI赛前集训营-方格计数【计数,dp】

正题

题目链接:https://ac.nowcoder.com/acm/contest/20107/B

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题目大意

给出一个\(w\times h\)的网格图，然后要求在上面选出\(n\)个格点，使得它们在一条直线上且两两之间距离不小于\(d\)。

\(1\leq T\leq 20,1\leq w,h,d\leq 500,1\leq n\leq 50\)

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解题思路

先只考虑横竖和斜向右下的直线
显然是枚举直线更加迅速，可以枚举一个斜率\(\frac{a}{b}\)，然后为了防止算重我们考虑起点也就是我们选择的最第一个点，对于起点在\((0,0)\sim (w-ka,h-kb)\)的矩形内的点，右下角至少还有\(k\)个点可以选择，我们可以枚举这个\(k\)，然后暴力统计。这样一次复杂度是\(O(min\{\frac{w}{a},\frac{h}{b}\})\)，类似于调和级数不是很大。

之后考虑统计选择的方案，设\(f_{i,j,k}\)表示选择的两个之间要至少相隔\(i\)，有\(j\)个可以选，选择\(k\)个的方案，这个可以直接\(dp\)。

就可以过了，时间复杂度：\(O(whn+Twh\log {wh})\)

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=510,P=1e9+7;
ll T,n,w,h,D,ans,d[N][N];
int f[N][N][N];
signed main()
{
	scanf("%lld",&T);
	for(ll i=1;i<=500;i++)d[i][0]=d[0][i]=i;
	for(ll i=1;i<=500;i++)
		for(ll j=1;j<=i;j++)d[i][j]=d[j][i]=d[j][i%j];
	for(ll i=1;i<=500;i++){
		f[i][0][0]=1;
		for(ll j=1;j<=500;j++){
			for(ll k=0;k<=500;k++)f[i][j][k]=f[i][j-1][k];
			if(j>=i)
				for(ll k=1;k<=500;k++)
					(f[i][j][k]+=f[i][j-i][k-1])%=P;
		}
	}
	while(T--){
		scanf("%lld%lld%lld%lld",&n,&w,&h,&D);
		if(n==1){printf("%lld\n",(w+1)*(h+1)%P);continue;}
		ans=0;
		for(ll i=0;i<=w;i++)
			for(ll j=0;j<=h;j++){
				if(d[i][j]!=1)continue;
				ll k,last=0,ub=1;
				if(i!=0&&j!=0)ub=2;
				ll dis=ceil(D/sqrt(i*i+j*j));
				for(k=1;k;k++){
					if(k*i>w||k*j>h)break;
					ll L=w-k*i+1;ll R=h-k*j+1;
					(ans+=L*R%P*(1ll*(f[dis][k][n-1]-f[dis][k-1][n-1]))*ub%P)%=P;
				}
			}
		printf("%lld\n",(ans+P)%P);
	}
	return 0;
}