Ybtoj-排列计数【矩阵乘法,分块幂】

正题

题目链接:http://noip.ybtoj.com.cn/contest/596/problem/1

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题目大意

\(T\)组询问给出\(n\)求有多少个\(n\)的排列满足第一个是\(1\)并且相邻的差不超过\(2\)。

\(1\leq T\leq 10^6,1\leq n\leq 10^9\)

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解题思路

考虑一下如果我们要不断向前填满前面的一段的话，那么填的方案就只有两种，\((x,x+1)\)和\((x,x+2,x+1,x+3)\)，这样一下会跳\(1\)或者\(3\)。

然后还有一种方法是一直往前跳两格然后再跳回来，但是这样就直接结束了。

设\(f_i\)表示按照最前面那两种方法铺\(i\)个的方案，那么答案就是\((\sum_{i=1}^nf_{i})-f_{n-1}\)，减去\(n-1\)是因为会被\(f_n\)算重。

然后矩阵乘法+分块预处理光速幂做就好了。

时间复杂度\(O(4^3(\sqrt {10^9}+T))\)

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<vector>
#define ll long long
#define file(x) freopen("data"#x".in","r",stdin);freopen("data"#x".out","w",stdout);
using namespace std;
const ll N=5e5+10;
struct node{
	ll to,next;
}a[N<<1];
ll n,m,tot=1,ls[N],fa[N],dep[N],s[N],f[N],ans,num;
vector<ll> T[N];
void addl(ll x,ll y){
	a[++tot].to=y;
	a[tot].next=ls[x];
	ls[x]=tot;return;
}
void dfs(ll x,ll from){
	dep[x]=dep[fa[x]]+1;
	for(ll i=ls[x];i;i=a[i].next){
		ll y=a[i].to;
		if(i==from)continue;
		else if(dep[y]){
			if(dep[y]<=dep[x])
				s[x]++,s[fa[y]]--;
			continue;
		}
		T[x].push_back(y);
		fa[y]=x;dfs(y,i^1);
		s[x]+=s[y];
	}
	num+=(s[x]==0);
	return;
}
void calc(ll x){
	f[x]=(s[x]==0);dep[x]=1;
	for(ll i=0;i<T[x].size();i++){
		ll y=T[x][i];
		calc(y);
		ans+=f[x]*dep[y]+f[y]*dep[x];
		dep[x]+=dep[y];
		f[x]+=(s[x]==0)*dep[y]+f[y];
	}
	return;
}
signed main()
{
	file(2);
	scanf("%lld%lld",&n,&m);
	for(ll i=1;i<=m;i++){
		ll x,y;
		scanf("%lld%lld",&x,&y);
		addl(x,y);addl(y,x);
	}
	dfs(1,0);
	calc(1);
	printf("%lld\n",n*(n-1)/2ll*num-ans);
	return 0;
}