CF1039D-You Are Given a Tree【根号分治,贪心】
正题
题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/CF1039D
题目大意
给出\(n\)个点的一棵树,然后对于\(k\in[1,n]\)求每次使用一条长度为\(k\)的链覆盖树并且不能重复覆盖点时最大覆盖条数。
\(1\leq n\leq 10^5\)
解题思路
先考虑暴力怎么做,因为每条链的价值都是一,显然的一种贪心思想是能合并的就合并(没有让出一条链给另一条链腾空间的必要)。
这样的复杂度是\(O(n)\)的,但是对于每个都要求所以需要优化。
之后考虑上根号分治,对于一个\(k\)的答案显然不会超过\(\frac{n}{k}\),所以可以当\(k\leq \sqrt n\)的时候暴力做,然后由于答案递增,大于\(\sqrt n\)的\(k\)答案的取值不会超过\(\sqrt n\),每次二分断点即可。时间复杂度\(O(n\sqrt n\log n)\)。
其实发现这样还是不够快,可以找到一个更好的阈值,设为\(T\),那么前面的复杂度就是\(T\),后面的复杂度就是\(\frac{n}{T}\log n\),用平衡规划的思想当\(T=\frac{n}{T}\log n\)时最快,也就是\(T=\sqrt{n\log n}\)时最快了。
code
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
const int N=1e5+10;
struct node{
int to,next;
}a[N<<1];
int n,tot,cnt,dfn[N],ls[N],fa[N],f[N];
void addl(int x,int y){
a[++tot].to=y;
a[tot].next=ls[x];
ls[x]=tot;return;
}
void dfs(int x){
dfn[++cnt]=x;
for(int i=ls[x];i;i=a[i].next){
int y=a[i].to;
if(y==fa[x])continue;
fa[y]=x;dfs(y);
}
return;
}
int solve(int k){
if(k==1)return n;
int ans=0;
for(int i=1;i<=n;i++)f[i]=1;
for(int i=n;i>=1;i--){
int x=dfn[i];
if(f[x]&&f[fa[x]]){
if(f[x]+f[fa[x]]>=k)
ans++,f[fa[x]]=0;
else f[fa[x]]=max(f[fa[x]],f[x]+1);
}
}
return ans;
}
int main()
{
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<n;i++){
int x,y;
scanf("%d%d",&x,&y);
addl(x,y);addl(y,x);
}
dfs(1);
int T=sqrt((double)n*(log(n)/log(2))),last,z=T+1;
for(int i=1;i<=T;i++)printf("%d\n",last=solve(i));
while(z<=n){
int l=z+1,r=n,k=solve(z);
while(l<=r){
int mid=(l+r)>>1;
if(solve(mid)<k)r=mid-1;
else l=mid+1;
}
for(int i=z;i<=r;i++)
printf("%d\n",k);
z=r+1;
}
return 0;
}