P4548-[CTSC2006]歌唱王国【概率生成函数,KMP】

1|0正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P4548

1|1题目大意

$t$ 次询问，给出一个长度为 $m$ 的串 $S$ 和一个空串 $T$ ，每次在 $T$ 后面随机加入 $1\sim n$ 的字符，直到 $T$ 中出现 $S$ 为止，求期望次数。

$1\leq n\leq 10^5,t\leq 50,1\leq m\leq 10^5$

1|2解题思路

对于一个随机的数字 $X$ ，它的概率生成函数是一个形如

F (x) = \sum_{i = 0}^{\infty} P (X = i) x^{i}

$F(x)=\sum_{i=0}^\infty P(X=i)x^i$

F^{'} (x) = \sum_{i = 1}^{\infty} P (X = i) i x^{i - 1}

$F'(x)=\sum_{i=1}^\infty P(X=i)ix^{i-1}$

不难发现数字 $X$ 的期望值就是 $E(X)=F'(1)$
然后还有一个不知道有啥用的 $X$ 的方差（大概就是离散程度）

V (X) = F^{″} (1) + F^{'} (1) - F^{'} (1)^{2}

$V(X)=F''(1)+F'(1)-F'(1)^2$

这题的话，设两个生成函数， $F(x)$ 表示停止时间 $X$ 的概率生成函数，还有一个 $G(x)$ 表示没有停止时间的概率（不是概率生成函数），具体地

G (x) = \sum_{i = 0}^{\infty} P (i < X) x^{i}

$G(x)=\sum_{i=0}^\infty P(i<X)x^i$

然后我们就有两个式子

x G (x) + 1 = F (x) + G (x)

$xG(x)+1=F(x)+G(x)$

这个式子的含义很好理解，在还没有结束的序列后面加入一个字符要么结束了要么没结束。

{(\frac{x}{n})}^{m} G (x) = \sum_{i = 1}^{m} {(\frac{x}{n})}^{m - i} b_{i} F (x)

$\left(\frac{x}{n}\right)^mG(x)=\sum_{i=1}^m \left(\frac{x}{n}\right)^{m-i}b_iF(x)$

$b_i$ 表示 $i$ 是否是串 $S$ 的一个 $border$ ，这个式子的意思就是说在直接在未结束的 $T$ 后面插入一个 $S$ ，此时可能提前结束。

然后这两个式子怎么用呢，我们对第一个式子求导就有

G (x) + G^{'} (x) = F^{'} (x) + G^{'} (x) \Rightarrow F^{'} (x) = G (x)

$G(x)+G'(x)=F'(x)+G'(x)\Rightarrow F'(x)=G(x)$

也就是说我们要求的 $E(X)=F'(1)=G(1)$
然后直接带入第二个式子，因为有 $F(1)=1$ ，所以

{(\frac{1}{n})}^{m} G (1) = \sum_{i = 1}^{m} {(\frac{1}{n})}^{m - i} b_{i} F (1)

$\left(\frac{1}{n}\right)^mG(1)=\sum_{i=1}^m \left(\frac{1}{n}\right)^{m-i}b_iF(1)$

\Rightarrow G (1) = \sum_{i = 1}^{m} n^{i} b_{i}

$\Rightarrow G(1)=\sum_{i=1}^mn^ib_i$

用 $KMP$ 求出 $b$ 数组即可。

时间复杂度 $O(Tm)$

1|3code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=1e5+10,P=1e4;
ll T,m,n,pw[N],a[N],nxt[N];
signed main()
{
	scanf("%lld%lld",&m,&T);pw[0]=1;
	for(ll i=1;i<N;i++)pw[i]=pw[i-1]*m%P;
	while(T--){
		scanf("%lld",&n);ll ans=0;
		for(ll i=1;i<=n;i++)
			scanf("%lld",&a[i]);
		for(ll i=2,j=0;i<=n;i++){
			while(j&&a[j+1]!=a[i])j=nxt[j];
			j+=(a[j+1]==a[i]);nxt[i]=j;
		}
		for(ll i=n;i;i=nxt[i])
			(ans+=pw[i])%=P;
		printf("%04lld\n",ans);
	}
	return 0;
}

__EOF__

本文作者：QuantAsk
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