P4100-[HEOI2013]钙铁锌硒维生素【矩阵求逆,最大匹配】

1|0正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P4100

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1|1题目大意

给出$n$个线性无关的向量$A_i$，然后给出$n$个向量$B_i$，求一个字典序最小的排列$p$使得将任意的$A_i$替换为$B_{p_i}$后依旧线性无关。

$1\leq n\leq 300$

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1|2解题思路

首先因为我们有$n$个向量$A$线性无关，那么显然这$n$个向量能表示任意向量，如果对于一个$B_{p_i}$替换为$A_i$后依旧线性无关，那么$B_{p_i}$与$A_i$是等价的（因为$B_{p_i}$和$A_i$都代表了剩下$n-1$个无法表示的部分）。

所以只需考虑每个$B_j$能否换到$A_i$即可，构建出矩阵$A=[A_1,A_2...A_n]$和$B=[B_1,B_2...B_n]$，考虑一个置换矩阵使得$AR=B$，那么就是对于每个$B$如何用$A$进行表示。

那么如果$R_{i,j}=0$也就是说$B$可以用$A_j$以外的其他$A$表示所以$B$替换到$A_j$之后肯定线性有关了，所以不行。

$R=\frac{B}{A}$，求逆得到$R$，这样我们就知道哪些$A$可以替换哪些$B$了，问题就变成了最小字典序匹配。对于这个问题我们可以考虑找一条增广环就好了。

时间复杂度$O(n^3)$

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1|3code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
const int N=310;
const double eps=1e-8;
int n,v[N],link[N];
double A[N][N],B[N][N];
bool GetInv(){
	for(int i=1;i<=n;i++){
		int z=i;
		for(int j=i+1;j<=n;j++)
			if(fabs(A[j][i])>fabs(A[z][i]))z=j;
		swap(A[i],A[z]);swap(B[i],B[z]);
		double x=A[i][i];
		if(fabs(x)<eps)return 0;
		for(int j=1;j<=n;j++)
			A[i][j]/=x,B[i][j]/=x; 
		for(int j=1;j<=n;j++){
			if(i==j)continue;
			double rate=-A[j][i];
			for(int k=1;k<=n;k++)
				A[j][k]+=rate*A[i][k],
				B[j][k]+=rate*B[i][k];
		}
	}
	for(int i=n;i>=1;i--)
		for(int j=1;j<i;j++){
			double rate=-A[j][i];
			for(int k=1;k<=n;k++)
				A[j][k]+=rate*A[i][k],B[j][k]+=rate*B[i][k];	
		}
	return 1;
}
bool dfs(int x){
	for(int i=1;i<=n;i++)
		if(!v[i]&&fabs(B[x][i])>=eps){
			v[i]=1;
			if(!link[i]||dfs(link[i])){
				link[i]=x;
				return 1;
			}
		}
	return 0;
}
int calc(int x,int top){
	for(int i=1;i<=n;i++)
		if(!v[i]&&fabs(B[x][i])>=eps){
			v[i]=1;
			if(link[i]==top||(link[i]>top&&calc(link[i],top))){
				link[i]=x;
				return i;
			}
		}
	return 0;
}
int main()
{
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=n;j++)
			scanf("%lf",&A[j][i]);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=n;j++)
			scanf("%lf",&B[j][i]);
	if(!GetInv())return puts("NIE")&0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		memset(v,0,sizeof(v));
		if(!dfs(i))return puts("NIE")&0;
	}
	puts("TAK");
	for(int i=1;i<=n;i++){
		memset(v,0,sizeof(v));
		printf("%d\n",calc(i,i));
	}
	return 0;
}

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本文作者：QuantAsk
本文链接：https://www.cnblogs.com/QuantAsk/p/15254019.html
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