2021牛客暑期多校训练营9C-Cells【LGV引理,范德蒙德行列式】

正题

题目链接:https://ac.nowcoder.com/acm/contest/11260/C

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题目大意

一个平面上，\(n\)个起点\((0,a_i)\)分别对应终点\((i,0)\)，每次只能往上或者往左走。求不交路径数。

\(1\leq n\leq 5\times 10^5,a_i<a_{i+1},a_n\leq 10^6\)

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解题思路

看起来很\(LGV\)引理，先列出行列式

\[F_{i,j}=\binom{a_i+i+1}{i}=\frac{(a_i+i+1)!}{(a_i+1)!(i+1)!} \]

然后提出\(\prod \frac{(a_i+1)!^2}{(a_i+1)!(i+1)!}\)

然后范德蒙德行列式化简就变成

\[\prod_{i=1}^n(a_i+1)!\times \prod_{i=1}^n\frac{1}{j!}\prod_{i<j}(a_i-a_j) \]

然后后面那个跑\(NTT\)看所有结论就好了。

时间复杂度\(O(a_n\log a_n)\)

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll M=1e6+1,N=4e6+10,P=998244353;
ll T,n,m,a[510000],F[N],G[N],r[N];
ll power(ll x,ll b){
	ll ans=1;
	while(b){
		if(b&1)ans=ans*x%P;
		x=x*x%P;b>>=1;
	}
	return ans;
}
//ll dec(ll n){
//	ll ans=1,f=1;
//	for(ll i=1;i<=n;i++){
//		for(ll j=i;j<=n;j++){
//			if(a[j][i]){
//				if(j!=i)swap(a[i],a[j]),f=-f;
//				break;
//			}
//		}
//		ans=ans*a[i][i]%P;
//		ll inv=power(a[i][i],P-2);
//		for(ll j=i;j<=n;j++)a[i][j]=a[i][j]*inv%P;
//		for(ll j=i+1;j<=n;j++){
//			ll rate=P-a[j][i];
//			for(ll k=i;k<=n;k++)
//				(a[j][k]+=rate*a[i][k]%P)%=P;
//		}
//	}
//	return ans;
//}
void NTT(ll *f,ll n,ll op){
	for(ll i=0;i<n;i++)
		if(i<r[i])swap(f[i],f[r[i]]);
	for(ll p=2;p<=n;p<<=1){
		ll len=p>>1,tmp=power(3,(P-1)/p);
		if(op==-1)tmp=power(tmp,P-2);
		for(ll k=0;k<n;k+=p){
			ll buf=1;
			for(ll i=k;i<k+len;i++){
				ll tt=f[i+len]*buf%P;
				f[i+len]=(f[i]-tt+P)%P;
				f[i]=(f[i]+tt)%P;
				buf=buf*tmp%P;
			}
		}
	}
	if(op==-1){
		ll invn=power(n,P-2);
		for(ll i=0;i<n;i++)
			f[i]=f[i]*invn%P;
	}
	return;
}
signed main()
{
	scanf("%lld",&n);ll ans=1;
	for(ll i=1,z=1;i<=n;i++,z=z*i%P){
		scanf("%lld",&a[i]);
		ans=ans*(a[i]+1)%P*power(z,P-2)%P;
		F[a[i]]++;G[M-a[i]]++;
	}
	ll m=1;while(m<=2*M)m<<=1;
	for(ll i=0;i<m;i++)r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)?(m>>1):0);
	NTT(F,m,1);NTT(G,m,1);
	for(ll i=0;i<m;i++)F[i]=F[i]*G[i]%P;
	NTT(F,m,-1);
	for(ll i=1;i<m;i++)
		ans=ans*power(i,F[M+i])%P;
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}