P4233-射命丸文的笔记【NTT,多项式求逆】

1|0正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P4233

1|1题目大意

随机选择一条有哈密顿回路的 $n$ 个点的竞赛图，求选出图的哈密顿回路的期望个数。

对于每个 $n\in[1,N]$ 求答案。

$1\leq N\leq 10^5$

1|2解题思路

竟然自己推出来了泪目( Ĭ ^ Ĭ )

如果是统计所以的哈密顿回路个数是一个很简单的题目，我们可以求出 $n$ 的一个圆排列表示一条回路，然后剩下的边随便排即可。也就是 $(n-1)!\times 2^{\frac{n(n-1)}{2}-n}$ 条哈密顿路，但是因为求的是期望所以我们还得求出有哈密顿回路的竞赛图个数，然后有一个结论就是如果一个竞赛图是一个强连通分量那么这个图就一定存在哈密顿回路。

这个是问题所在，我们可以考虑用城市规划的推法，设 $f_i$ 表示 $i$ 个点是强连通分量的竞赛图个数。
那么有

2^{\frac{n (n - 1)}{2}} = 2 \sum_{i = 0}^{n - 1} 2^{\frac{i (i - 1)}{2}} f_{n - i} (\binom{n}{i})

$2^{\frac{n(n-1)}2}=2\sum_{i=0}^{n-1}2^{\frac{i(i-1)}{2}}f_{n-i}\binom{n}{i}$

但是注意 $n=0$ 的时候要特别处理算出来为 $1$ 。

化一下式子有

2^{\frac{n (n - 1)}{2}} = 2 \sum_{i = 0}^{n - 1} 2^{\frac{i (i - 1)}{2}} f_{n - i} \frac{n!}{i! (n - i)!}

$2^{\frac{n(n-1)}2}=2\sum_{i=0}^{n-1}2^{\frac{i(i-1)}{2}}f_{n-i}\frac{n!}{i!(n-i)!}$

\frac{2^{\frac{n (n - 1)}{2}}}{n!} = \sum_{i = 0}^{n - 1} \frac{2^{\frac{i (i - 1)}{2}}}{i!} \frac{2 f_{n - i}}{(n - i)!}

$\frac{2^{\frac{n(n-1)}2}}{n!}=\sum_{i=0}^{n-1}\frac{2^{\frac{i(i-1)}{2}}}{i!}\frac{2f_{n-i}}{(n-i)!}$

设 $F=\sum_{i=0}^{\infty}\frac{2f_i}{i!},G=\sum_{i=0}^{\infty}\frac{2^{\frac{i(i-1)}{2}}}{i!}$ ，那么有

G = F G + 1 \Rightarrow F = \frac{G - 1}{G}

$G=FG+1\Rightarrow F=\frac{G-1}{G}$

上多项式求逆就可以求出 $f$ 了。

时间复杂度 $O(n\log n)$

1|3code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=131072,M=N<<1,P=998244353;
ll n,fac[M],G[M],H[M],r[M],tmp[M];
ll power(ll x,ll b){
	ll ans=1;
	while(b){
		if(b&1)ans=ans*x%P;
		x=x*x%P;b>>=1;
	}
	return ans;
}
void NTT(ll *f,ll n,ll op){
	for(ll i=0;i<n;i++)
		if(i<r[i])swap(f[i],f[r[i]]);
	for(ll p=2;p<=n;p<<=1){
		ll len=(p>>1),tmp=power(3,(P-1)/p);
		if(op==-1)tmp=power(tmp,P-2);
		for(ll k=0;k<n;k+=p){
			ll buf=1;
			for(ll i=k;i<k+len;i++){
				ll tt=buf*f[i+len]%P;
				f[i+len]=(f[i]-tt+P)%P;
				f[i]=(f[i]+tt)%P;
				buf=buf*tmp%P;
			}
		}
	}
	if(op==-1){
		ll invn=power(n,P-2);
		for(ll i=0;i<n;i++)
			f[i]=f[i]*invn%P;
	}
	return;
}
void GetInv(ll n,ll *f,ll *g){
	if(!n)
	{g[0]=power(f[0],P-2);return;}
	GetInv(n>>1,f,g);ll m=n<<1;
	for(ll i=0;i<n;i++)tmp[i]=f[i];
	for(ll i=0;i<m;i++)r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)?(m>>1):0);
	NTT(tmp,m,1);NTT(g,m,1);
	for(ll i=0;i<m;i++)
		g[i]=(2*g[i]-tmp[i]*g[i]%P*g[i]%P+P)%P;
	NTT(g,m,-1);
	for(ll i=n;i<m;i++)g[i]=0;
	return;
}
signed main()
{
	scanf("%lld",&n);fac[0]=1;
	for(ll i=1;i<N;i++)fac[i]=fac[i-1]*i%P;
	for(ll i=0;i<N;i++)G[i]=power(2,i*(i-1)/2ll)*power(fac[i],P-2)%P;
	GetInv(N,G,H);G[0]--;
	NTT(G,M,1);NTT(H,M,1);
	for(ll i=0;i<M;i++)G[i]=G[i]*H[i]%P;
	NTT(G,M,-1);
	for(ll i=1;i<=n;i++){
		if(i==1){puts("1");continue;}
		G[i]=G[i]*fac[i]%P;
		if(!G[i]){puts("-1");continue;}
		ll ans=fac[i-1]*power(2,i*(i-1)/2ll-i)%P;
		printf("%d\n",ans*power(G[i],P-2)%P);
	}
	return 0;
}

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本文作者：QuantAsk
本文链接：https://www.cnblogs.com/QuantAsk/p/15116484.html
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