51nod1836-战忽局的手段【期望dp,矩阵乘法】

正题

题目连接:http://www.51nod.com/Challenge/Problem.html#problemId=1836

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题目大意

\(n\)个点\(m\)次随机选择一个点标记（可以重复），求最后被标记点的期望个数。

\(1\leq n,m\leq 10^{18}\)

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解题思路

额开始拿方案数推了半天后面发现要斯特林数就放弃了，然后换了种方法发现很简单？

设\(i\)轮之后被标记点的期望个数是\(f_i\)，那么有

\[f_i=f_{i-1}+\frac{n-f_{i-1}}{n} \]

\[f_i=f_{i-1}\frac{n-1}{n}+1 \]

然后矩阵乘法就好了。

有一说一我第一次用期望值来算概率（（（

时间复杂度\(O(T\log n)\)

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int S=2;
struct Matrix{
	__float128 a[S][S];
}f,ans,c;
long long T,n,m;
Matrix operator*(const Matrix &a,const Matrix &b){
	c.a[0][0]=c.a[0][1]=c.a[1][0]=c.a[1][1]=0;
	for(int i=0;i<S;i++)
		for(int j=0;j<S;j++)
			for(int k=0;k<S;k++)
				c.a[i][j]+=a.a[i][k]*b.a[k][j];
	return c;
}
int main()
{
	scanf("%lld",&T);
	while(T--){
		scanf("%lld%lld",&n,&m);
		f.a[1][1]=(__float128)(n-1)/n;
		f.a[0][1]=f.a[0][0]=1;f.a[1][0]=0;
		ans.a[0][0]=1;ans.a[0][1]=0;
		while(m){
			if(m&1)ans=ans*f;
			f=f*f;m>>=1;
		}
		printf("%.12lf\n",(double)ans.a[0][1]);
	}
	return 0;
}