P6563-[SBCOI2020]一直在你身旁【dp,单调队列】

1|0正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P6563

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1|1题目大意

长度为$n$的序列$a_i$，现在有一个随机$[1,n]$的整数，每次你可以花费$a_i$询问这个数字是否大于$i$，求猜出所有数至少要多少花费。

$T\leq 500,\sum n\leq 7000$

保证$a_i$单调不降

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1|2解题思路

考虑区间$dp$，设$f_{l,r}$表示猜出区间$[l,r]$的最小花费。

最基本的转移就是

$$f_{l,r}=min\{\ max\{f_{l,k},f_{k+1,r}\}+a_k\ \}(\ k\in[l,r)\ )$$

然后考虑如何优化转移。

因为里面有个$max$，我们可以对于一个$l,r$考虑找到一个最小的$z$满足$f_{l,z}>f_{z+1,r}$那么$z$以后的都是用$f_{l,z}$，以前的都是用$f_{z+1,r}$。

这个在右端点固定左端点向左时$z$是不升的，所以不用二分带$log$。

对于取$f_{l,k}+a_k$的那一部分，$a_k$和$f_{l,z}$都随着$k$增大不降，所以直接取$f_{l,z}+a_z$。

对于$f_{k+1,r}+a_k$的那一部分，$k$的限制会不断缩小，所以用一个单调队列维护就可以了。

时间复杂度$O(\sum n^2)$

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1|3code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<queue>
using namespace std;
const int N=7200;
int T,n,a[N];
long long f[N][N];
deque<int> q;
long long calc(int k,int r){
	if(k<1)return 1e18;
	return f[r][k+1]+a[k];
}
signed main()
{
	scanf("%d",&T);
	while(T--){
		scanf("%d",&n);
		for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]);
		for(int i=1;i<=n;i++)
			for(int j=1;j<=n;j++)
				if(i!=j)f[i][j]=1e18; 
		for(int r=2;r<=n;r++){
			q.clear();q.push_back(r-1);
			for(int l=r-1,z=r-1;l>=1;l--){
				while(z>l&&f[z-1][l]>f[r][z])z--;
				while(!q.empty()&&q.front()>=z)q.pop_front();
				if(!q.empty())f[r][l]=calc(q.front(),r);
				f[r][l]=min(f[r][l],f[z][l]+a[z]);
				if(l==1)continue;
				while(!q.empty()&&calc(q.back(),r)>=calc(l-1,r))q.pop_back();
				q.push_back(l-1);
			}
		}
		printf("%lld\n",f[n][1]);
	}
}

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本文作者：QuantAsk
本文链接：https://www.cnblogs.com/QuantAsk/p/15032126.html
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