CometOJ-[Contest #10]鱼跃龙门【exgcd】

1|0正题

题目链接:https://cometoj.com/problem/1479

---

1|1题目大意

给出$n$求一个最小的$x(x>0)$满足

$$\left(\sum_{i=1}^xi\right)\equiv 0(\mod n)$$

$1\leq n\leq 10^{12},1\leq T\leq 100$

---

1|2解题思路

转成等比数列求和就是

$$\frac{i(i+1)}{2}\equiv 0(\mod n)\Rightarrow i(i+1)=2kn$$

从里面获得一下信息，考虑枚举$2n$的所有约数$d$，那么我们有$xd\times y\frac{2n}{d}=2kn$。

也就是设$y\frac{2n}{d}=xd+1$，这个式子我们用$exgcd$求出最小解然后所有里面取最小的。

然后是一点优化，首先暴力枚举约数是$O(\sqrt n)$的，我们可以质因数分解之后搜索就是$O(\sigma_0(n))$的了。

然后因为$i$和$(i+1)$一定互质，所以$d$和$\frac{2n}{d}$不能有相同的质因子。

这样应该就能过了。

---

1|3code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=1e6+10;
ll T,n,ans,cnt,tot,pri[N/10],p[30];
bool v[N];
void Prime(){
	for(ll i=2;i<N;i++){
		if(!v[i])pri[++cnt]=i;
		for(ll j=1;j<=cnt&&i*pri[j]<N;j++){
			v[i*pri[j]]=1;
			if(i%pri[j]==0)break;
		}
	}
	return;
}
ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){
	if(!b){x=1;y=0;return a;}
	ll d=exgcd(b,a%b,x,y);
	ll z=y;y=x-(a/b)*y;x=z;
	return d;
}
void solve(ll x,ll f){
	if(x>tot){
		if(f==1||f==n)return;
		ll a=n/f,b=f,X,Y;
		ll d=exgcd(a,b,X,Y);
		Y=-Y;
		if(X<0){Y+=((-X+b-1)/b)*a;X+=((-X+b-1)/b)*b;}
		if(X>0){Y-=(X/b)*a;X-=(X/b)*b;}
		if(Y<0){X+=((-Y+a-1)/a)*b;Y+=((-Y+a-1)/a)*a;}
		ans=min(ans,min(X*a,Y*b));
		return;
	}
	solve(x+1,f);
	solve(x+1,f*p[x]);
	return;
}
signed main()
{
	Prime();
	scanf("%lld",&T);
	while(T--){
		scanf("%lld",&n);tot=0;
		n=n*2;ll x=n;ans=n-1;
		for(ll i=1;i<=cnt;i++){
			if(x%pri[i]==0){
				p[++tot]=1;
				while(x%pri[i]==0)
					p[tot]*=pri[i],x/=pri[i];
			}
		}
		if(x!=1){p[++tot]=x;}
		solve(1,1);
		printf("%lld\n",ans);
	}
	return 0;
}

__EOF__

本文作者：QuantAsk
本文链接：https://www.cnblogs.com/QuantAsk/p/15015928.html
关于博主：退役OIer，GD划水选手
版权声明：本博客所有文章除特别声明外，均采用 BY-NC-SA 许可协议。转载请注明出处！
声援博主：如果您觉得文章对您有帮助，可以点击文章右下角【推荐】一下。您的鼓励是博主的最大动力！