P4983-忘情【wqs二分,斜率优化】

1|0正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P4983

---

1|1题目大意

给出长度为$n$的序列$x$，记平均数为$\bar{x}$，要求将序列分成$m$段。
每一段$[l,r]$的值为

$$\frac{((\sum_{i=l}^rx_i\times \bar x)+\bar x)^2}{\bar x^2}$$

求所有段的值和最小

$1\leq m\leq n\leq 10^5,1\leq x_i\leq 1000$

---

1|2解题思路

直接除以$\bar x^2$就是最小化$(\sum_{i=l}^rx_i+1)^2$的和。

然后这个问题是下凸函数，设$f(i)$表示恰好分成$i$段，那么显然段数越多答案越小而且每次减少的越少。

所以我们可以用$wqs$二分给每次分一个段加上一个权值$val$。

那么现在的转移就是

$$F_i=min\{F_j+(s_i-s_j+1)^2+val\}(j<i)$$

这是经典的斜率优化不过多赘述。

时间复杂度$O(n\log W)$（$W$表示二分值域）

---

1|3code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=1e5+10;
ll n,m,s[N],f[N],g[N],x[N],y[N],q[N];
ll count(ll l,ll r)
{return f[l]+(s[r]-s[l]+1)*(s[r]-s[l]+1);}
ll xj(ll p,ll q,ll z)
{return (x[p]-x[z])*(y[q]-y[z])-(x[q]-x[z])*(y[p]-y[z]);}
ll check(ll val){
	int head=1,tail=0;q[++tail]=0;
	for(ll i=1;i<=n;i++){
		while(head<tail&&2ll*s[i]*(x[q[head+1]]-x[q[head]])>(y[q[head+1]]-y[q[head]]))head++;
		f[i]=count(q[head],i)+val;g[i]=g[q[head]]+1;
		y[i]=f[i]+s[i]*s[i]-2*s[i];x[i]=s[i];
		while(head<tail&&xj(i,q[tail],q[tail-1])>=0)tail--;
		q[++tail]=i;
	}
	return g[n];
}
signed main()
{
	scanf("%lld%lld",&n,&m);
	for(ll i=1;i<=n;i++)
		scanf("%lld",&s[i]),s[i]+=s[i-1];
	ll l=0,r=1e18;
	while(l<=r){
		ll mid=(l+r)>>1;
		if(check(mid)<=m)r=mid-1;
		else l=mid+1;
	}
	check(l);
	printf("%lld\n",f[n]-l*m);
	return 0;
}

__EOF__

本文作者：QuantAsk
本文链接：https://www.cnblogs.com/QuantAsk/p/15004762.html
关于博主：退役OIer，GD划水选手
版权声明：本博客所有文章除特别声明外，均采用 BY-NC-SA 许可协议。转载请注明出处！
声援博主：如果您觉得文章对您有帮助，可以点击文章右下角【推荐】一下。您的鼓励是博主的最大动力！