P2179-[NOI2012]骑行川藏【导数,二分】

1|0正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P2179

1|1题目大意

给出 $E$ 和 $n$ 个 $s_i,k_i,u_i$ 求一个序列 $v_i$ 满足

\sum_{i = 1}^{n} k_{i} s_{i} (v_{i} - u_{i})^{2} \leq E

$\sum_{i=1}^nk_is_i(v_i-u_i)^2\leq E$

的情况下最小化

\sum_{i = 1}^{n} \frac{s_{i}}{v_{i}}

$\sum_{i=1}^n\frac{s_i}{v_i}$

$1\leq n\leq 10^4$

1|2解题思路

洛谷题解上一个十分神奇的做法看起来。（主要是看不懂拉格朗日乘数法/kk）

首先考虑对于段路的行驶时间 $t_i=\frac{s_i}{v_i}$ ，我们可以画出消耗的能量 $E$ 和 $t_i$ 的函数。

对于函数 $f(E)=t_i$ 不难发现的是在 $v_i\geq u_i$ 的情况下 $E$ 越小这个函数对应位置的导数越小。

也就是消耗单位能量减少的时间也就越少，性价比就越低。而我们现在要给每段路分配一个 $t_i$ 使得消耗能量和等于 $E$ 且 $t_i$ 和最小的话。

根据贪心的思想有选出若干个的 $t_i$ 满足对应位置的导数相等。

那么我们就找到了所有路的共性，考虑二分这个导数，但是我们先对这个函数 $f(v)=\frac{t}{E}$ 求个导。

t^{'} = - \frac{s}{v_{i}^{2}}, E^{'} = 2 k_{i} s_{i} (v_{i} - u_{i})

$t'=-\frac{s}{v_i^2},E'=2k_is_i(v_i-u_i)$

f^{'} (v) = \frac{t^{'}}{E^{'}} = - \frac{s}{2 k_{i} s_{i} v_{i}^{2} (v_{i} - u_{i})}

$f'(v)=\frac{t'}{E'}=-\frac{s}{2k_is_iv_i^2(v_i-u_i)}$

然后我们二分出 $f'(v_i)=x$ 然后再二分出对应的速度 $v_i$ 就好了。

1|3code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=1e4+10;
int n;double E,s[N],k[N],v[N];
double getv(double x,int p){
	double l=max(v[p],0.0),r=100000;
	for(int i=1;i<=100;i++){
		double V=(l+r)/2.0;
		if(-2.0*k[p]*V*V*x*(V-v[p])<1.0)l=V;
		else r=V;
	}
	return (l+r)/2.0;
}
double check(double x){
	double E=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		double V=getv(x,i);
		E+=k[i]*s[i]*(V-v[i])*(V-v[i]);
	}
	return E;
}
int main()
{
	scanf("%d",&n);scanf("%lf",&E);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		scanf("%lf%lf%lf",&s[i],&k[i],&v[i]);
	double l=-1e5,r=0;
	for(int i=1;i<=100;i++){
		double mid=(l+r)/2.0;
		if(check(mid)<=E)l=mid;
		else r=mid;
	}
	double mid=(l+r)/2.0,ans=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		ans+=s[i]/getv(mid,i);
	printf("%.12lf\n",ans);
	return 0;
}

__EOF__

本文作者：QuantAsk
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