ARC106E-Medals【hall定理,高维前缀和】

1|0正题

题目链接:https://atcoder.jp/contests/arc106/tasks/arc106_e

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1|1题目大意

$n$个员工，第$i$个在$[1,A_i]$工作，$[A_i+1,2\times A_{i}]$休息，$[2\times A_i+1,3\times A_i]$工作...以此类推。

然后每天可以为一个在工作的人发一枚奖牌，至少多少天才能让每个人都有$k$块奖牌。

$1\leq n\leq 18,1\leq k,A_i\leq 10^5$

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1|2解题思路

首先答案上限显然是$2\times n\times 10^5$（就是每个人轮流发）

然后考虑一个暴力的做法。先二分，然后把每天看做一个右边的点，每个员工看做$k$个左边的点，然后一个员工干活的天就连边，之后暴力跑网络流。

这样显然会$T$但是这是一个正解的启示。

首先我们先拓宽一下$hall$定理，原来是$2\times k$个点的二分图匹配左边任意$k$个点都和右边至少$k$个点匹配是这张图有完全匹配的充要条件，但是不难发现如果右边多加了几个点显然还是满足条件的。

所以上面那个可以理解为左边任意$k$个点都和右边至少有$k$条连边，然后不难发现段其实只有$2^n$种不同的，所以我们直接二分一个答案然后设$f_s$表示包含集合$s$的段匹配了多少个点。

如果$f_s<|s|\times k$就无解了，然后$f_s$要用高维前缀和或者$FWT$做就好了。

时间复杂度$O(2^nn\log nk)$

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1|3code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=18;
ll n,k,a[N],bit[1<<N],f[1<<N],s[N*200000];
bool check(ll t){
	ll MS=(1<<n);
	memset(f,0,sizeof(f));
	for(ll i=1;i<=t;i++)
		f[MS-1]++,f[s[i]^(MS-1)]--;
	for(ll i=0;i<n;i++)
		for(ll j=0;j<MS;j++)
			if(j&(1<<i))f[j^(1<<i)]+=f[j];
	for(ll i=0;i<MS;i++)
		if(f[i]<bit[i]*k)
			return 0;
	return 1;
}
signed main()
{
	scanf("%lld%lld",&n,&k);
	for(ll i=0;i<n;i++)
		scanf("%lld",&a[i]);
	ll MS=(1<<n),L=2*n*1e5;
	for(ll i=1;i<MS;i++)bit[i]=bit[i-(i&-i)]+1;
	for(ll i=1;i<=L;i++)
		for(ll j=0;j<n;j++)
			if((i-1)%(a[j]<<1)<a[j])
				s[i]|=(1<<j);
	ll l=1,r=L;
	while(l<=r){
		ll mid=(l+r)>>1;
		if(check(mid))r=mid-1;
		else l=mid+1;
	}
	printf("%lld\n",l);
	return 0;
}

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本文作者：QuantAsk
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