Loj#6247-九个太阳【单位根反演】

1|0正题

1|1题目大意

给出 $n,k$ 求

\sum_{0 \leq i \leq n, i | k} (\binom{n}{i})

$\sum_{0\leq i\leq n,i|k}\binom{n}{i}$

对 $998244353$ 取模

$1\leq n\leq 10^{15},1\leq k\leq 2^{20},k=2^p(p\in N)$

1|2解题思路

随便找的一题竟然是单位根反演，不过很基础而且很裸。

首先单位根反演的式子 $[i|k]=\frac{1}{k}\sum_{j=0}^{k-1}\omega_k^{i\times j}$

然后带到这题的式子就是

\sum_{i = 0}^{n} \frac{1}{k} \sum_{j = 0}^{k - 1} ω_{k}^{i \times j} (\binom{n}{i})

$\sum_{i=0}^n\frac{1}{k}\sum_{j=0}^{k-1}\omega_k^{i\times j}\binom{n}{i}$

然后把 $j$ 提出来

\frac{1}{k} \sum_{j = 0}^{k - 1} \sum_{i = 0}^{n} (ω_{k}^{i})^{j} (\binom{n}{i})

$\frac{1}{k}\sum_{j=0}^{k-1}\sum_{i=0}^n(\omega_k^{i})^j\binom{n}{i}$

然后二项式定理

\frac{1}{k} \sum_{j = 0}^{k - 1} (ω_{k}^{i} + 1)^{n}

$\frac{1}{k}\sum_{j=0}^{k-1}(\omega_k^{i}+1)^n$

额但是 $n$ 很大直接用复数精度肯定会炸，但是 $998244353-1=2^{23}\times 7\times 17$ ...又因为 $k=2^p$ ，其实就是类似于 $NTT$ 的思路我们直接用原根 $\omega_k^1=g^{\frac{P-1}{k}}$ 就好了。

时间复杂度 $O(k\log n)$

1|3code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll P=998244353;
ll n,k,ans;
ll power(ll x,ll b){
	ll ans=1;
	while(b){
		if(b&1)ans=ans*x%P;
		x=x*x%P;b>>=1;
	}
	return ans;
}
signed main()
{
	scanf("%lld%lld",&n,&k);
	ll g=power(3,(P-1)/k),z=1;
	for(ll i=0;i<k;i++,z=z*g%P)
		(ans+=power(z+1,n)%P)%=P;
	printf("%lld\n",ans*power(k,P-2)%P);
	return 0;
}

__EOF__

本文作者：QuantAsk
本文链接：https://www.cnblogs.com/QuantAsk/p/14951519.html
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