AT2667-[AGC017D]Game on Tree【SG函数】
正题
题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/AT2667
题目大意
给出\(n\)个点的一棵树,每次可以割掉一条和根节点联通的边,轮流操作直到不能操作的输,求是否先手必胜。
\(1\leq n\leq 2\times 10^5\)
解题思路
挺巧妙的一个东西,考虑通过每个子树的\(SG\)来求根的\(SG\)。
考虑一个等价的问题就是假设我们有\(k\)个子树那么我们可以把根节点复制\(k\)份然后每个单独连接。
然后考虑我们知道了一棵树的\(SG\)然后往上加一个节点时新的\(SG\)是多少。
用\(DAG\)来考虑的话不难发现我们其实是多了一个节点并且连向所有的状态,所以新的\(SG\)值加一就好连。
所以每个点子树的\(SG\)就等于他儿子节点子树的\(SG+1\)的异或和
时间复杂度\(O(n)\)
code
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=2e5+10;
struct node{
int to,next;
}a[N<<1];
int n,tot,ls[N],sg[N];
void addl(int x,int y){
a[++tot].to=y;
a[tot].next=ls[x];
ls[x]=tot;return;
}
void dfs(int x,int fa){
for(int i=ls[x];i;i=a[i].next){
int y=a[i].to;
if(y==fa)continue;
dfs(y,x);
sg[x]^=sg[y]+1;
}
return;
}
int main()
{
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<n;i++){
int x,y;
scanf("%d%d",&x,&y);
addl(x,y);addl(y,x);
}
dfs(1,1);
if(sg[1])puts("Alice");
else puts("Bob");
return 0;
}