CF1392G-Omkar and Pies【dp】
正题
题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/CF1392G
题目大意
两个长度为\(k\)的起始和目标01串。
\(n\)个操作交换起始串的两个位置,选择一段长度至少为\(m\)的连续操作序列使得相同的位数最多。
\(1\leq m\leq n\leq 10^6,1\leq k\leq 20\)
解题思路
因为是从前往后操作,所以可以拆成两个后缀\([l,n]\)和\([r+1,n]\)。
对\(S\)执行\(l\sim n\)然后对\(T\)执行\(r+1\sim n\)之后比较就好了。
额考虑怎么做这个东西,我们可以\(O(nk)\)的处理出一个\(s_i\)表示对\(S\)执行了\(i\sim n\)之后的序列,\(t_i\)表示对\(T\)执行了\(i\sim n\)之后的序列,当然要用二进制压起来。
然后我们要找到一对\(l,r\)使得\(r-l\geq m\)且\(s_l\ xor\ t_r\)的\(1\)最多。
有个做法是考虑\(s\ and\ t\)的\(1\)数,因为\(s\)和\(t\)的\(1\)数固定。设\(s\ and\ t\)有\(z\)个\(1\),\(s\)有\(x\)个\(1\),\(t\)有\(y\)个\(1\),那么他们相同的位数有\(z+(k-x-y+z)=2z+k-x-y\)个,所以其实是要最大化\(z\)就好了。
设\(f_{i}\)表示一个最小的\(k\)使得\(s_k\ and \ i=i\),\(g_i\)则是表示对于\(t\)来说最大的\(k\)。
然后求出这两个就可以搞定这题了,因为是最值所以不需要用到\(\text{FWT}\),直接\(dp\)就好了。
时间复杂度\(O(nk)\)
code
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=1<<20;
int k,n,m,s,t,zx[N],zy[N],f[N],g[N],bit[N],rev[N][20];
char st[30];
int swp(int s,int p){
int ans=0;
for(int i=0;i<k;i++)
ans|=(((s>>rev[p][i])&1)<<i);
return ans;
}
int main()
{
scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
scanf("%s",st);
for(int i=0;i<k;i++)
s|=(st[i]-'0')*(1<<i);
scanf("%s",st);
for(int i=0;i<k;i++)
t|=(st[i]-'0')*(1<<i);
for(int i=1;i<=n;i++){
int x,y;
scanf("%d%d",&x,&y);x--;y--;
for(int j=0;j<k;j++)rev[i][j]=j;
swap(rev[i][x],rev[i][y]);
}
for(int i=n-1;i>=1;i--){
int tmp[k];
for(int j=0;j<k;j++)
tmp[j]=rev[i][rev[i+1][j]];
for(int j=0;j<k;j++)rev[i][j]=tmp[j];
}
memset(f,0x3f,sizeof(f));
for(int i=n;i>=1;i--){
int x=swp(s,i);f[x]=min(f[x],i);
x=swp(t,i);
g[x]=max(g[x],i);
}
g[t]=n+1;int MS=(1<<k);
for(int i=1;i<MS;i++)
bit[i]=bit[i-(i&-i)]+1;
int ans=-1,ansl=0,ansr=0;
for(int i=MS-1;i>=0;i--){
for(int j=0;j<k;j++){
f[i]=min(f[i],f[i|(1<<j)]);
g[i]=max(g[i],g[i|(1<<j)]);
}
if(bit[i]>ans&&g[i]-f[i]>=m)
ans=bit[i],ansl=f[i],ansr=g[i];
}
printf("%d\n%d %d\n",2*ans+k-bit[s]-bit[t],ansl,ansr-1);
return 0;
}