AT1983-[AGC001E]BBQ Hard【dp,组合数学】
正题
题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/AT1983
题目大意
给出\(n\)个数对\((a_i,b_i)\)
求
\[\sum_{i=1}^n\sum_{j=i+1}^n\binom{a_i+b_i+a_j+b_j}{a_i+a_j}
\]
\(1\leq n\leq 2\times 10^5,1\leq a_i,b_i\leq 2000\)
解题思路
啊遇到这种题目直接上组合意义 \(\color{white}{组合意义天地灭}\)
然后发现\(a_{i},b_i\)很小。上面那个组合数可以变成横着走\(a_i+a_j\)步,竖着走\(b_i+b_j\)步的方案。
之后理解为从\((-a_i,-b_i)\)走到\((a_j,b_j)\)就可以分离\(i,j\)了。
因为很小,直接多起点走一次求和就好了,要减去重复的部分。
时间复杂度\(O(n+max\{a_i\}\times max\{b_i\})\)
code
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=2e5+10,M=4500,P=1e9+7;
ll n,a[N],b[N],f[M][M],fac[N],inv[N],ans;
ll C(ll n,ll m)
{return fac[n]*inv[m]%P*inv[n-m]%P;}
signed main()
{
scanf("%lld",&n);inv[1]=1;
for(ll i=2;i<N;i++)inv[i]=P-inv[P%i]*(P/i)%P;
inv[0]=fac[0]=1;
for(ll i=1;i<N;i++)
fac[i]=fac[i-1]*i%P,inv[i]=inv[i-1]*inv[i]%P;
for(ll i=1;i<=n;i++){
scanf("%lld%lld",&a[i],&b[i]);
f[2001-a[i]][2001-b[i]]++;
}
for(ll i=1;i<=4002;i++)
for(ll j=1;j<=4002;j++)
(f[i][j]+=f[i-1][j]+f[i][j-1])%=P;
for(ll i=1;i<=n;i++){
(ans+=f[2001+a[i]][2001+b[i]]%P)%=P;
(ans-=C(2*a[i]+2*b[i],2*a[i]))%=P;
}
printf("%lld\n",(ans+P)*inv[2]%P);
return 0;
}