P3343-[ZJOI2015]地震后的幻想乡【dp,数学期望】

1|0正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P3343

1|1题目大意

给出 $n$ 个点的一张无向图，每条边被修复的时间是 $[0,1]$ 的一个随机实数，求这张图联通期望时间。

$1\leq n\leq 10,m\leq \frac{n(n-1)}{2}$

1|2解题思路

这个随机实数好像是用来吓人的（但是概率分布函数好像能搞）

假设修好了 $k$ 条之后恰好联通了，那么期望需要的时间就是 $\frac{k}{m+1}$

好了现在要求恰好在 $k$ 条边修好之后联通的方案，因为每条边修好的先后顺序是完全随机的。

设 $f_{S,i}$ 在生成子图 $S$ 中修好了 $i$ 条边是没有联通的方案， $g_{S,i}$ 则表示联通了的方案， $d_{S}$ 表示生成子图 $S$ 的边数。

求 $f_{S,i}$ 的话和之前的[集训队作业2013]城市规划思路很向，考虑扩展出一个新的点 $k$ ，那么我们枚举一个包含 $k$ 的联通块 $T(k\in T,T\subseteq S)$ ，然后合并这个联通块后其他的乱选，就有方程

f_{S, i} = \sum_{k \in T, T \subseteq S} \sum_{j = 0}^{m i n {d_{T}, i}} g_{T, j} \times (\binom{d_{S - T}}{i - j})

$f_{S,i}=\sum_{k\in T,T\subseteq S}\sum_{j=0}^{min\{d_{T},i\}}g_{T,j}\times \binom{d_{S-T}}{i-j}$

然后 $g_{S,i}$ 不需要专门的方程因为有 $f_{S,i}+g_{S,i}=\binom{d_S}{i}$

然后答案就是

\sum_{i = 0}^{m} \frac{i}{m + 1} (\frac{f_{G, i}}{(\binom{d_{G}}{i})} - \frac{f_{S, i - 1}}{(\binom{d_{G}}{i - 1})}) = \frac{1}{m + 1} \sum_{i = 0}^{m} \frac{f_{G, i}}{(\binom{d_{G}}{i})}

$\sum_{i=0}^{m}\frac{i}{m+1}(\frac{f_{G,i}}{\binom{d_G}{i}}-\frac{f_{S,i-1}}{\binom{d_G}{i-1}})=\frac{1}{m+1}\sum_{i=0}^m\frac{f_{G,i}}{\binom{d_G}{i}}$

时间复杂度 $O(3^nn^2)$

1|3code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=10;
ll n,m,e[1<<N],d[1<<N],g[1<<N][N*N/2],f[1<<N][N*N/2],C[51][51];
signed main()
{
	scanf("%lld%lld",&n,&m);
	for(ll i=1;i<=m;i++){
		ll x,y;
		scanf("%lld%lld",&x,&y);
		x--;y--;e[(1<<x)|(1<<y)]++;
	}
	ll MS=(1<<n);
	for(ll s=0;s<MS;s++)
		for(ll t=s;t;t=(t-1)&s)
			d[s]+=e[t];
	C[0][0]=1;
	for(ll i=1;i<=50;i++)
		for(ll j=0;j<=50;j++)
			C[i][j]=(j?C[i-1][j-1]:0)+C[i-1][j];
	for(ll s=1;s<MS;s++){
		for(ll i=0;i<=d[s];i++){
			ll k=s&-s;
			for(ll t=(s-1)&s;t;t=(t-1)&s)
				if(t&k)
					for(ll j=0;j<=min(i,d[t]);j++)
						f[s][i]+=g[t][j]*C[d[s-t]][i-j];
			g[s][i]=C[d[s]][i]-f[s][i];
		}
	}
	double ans=0;
	for(ll k=0;k<=m;k++)
		ans+=(double)f[MS-1][k]/C[m][k];
	printf("%.6lf\n",ans/(double)(m+1));
	return 0;
}

__EOF__

本文作者：QuantAsk
本文链接：https://www.cnblogs.com/QuantAsk/p/14797313.html
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