P5956-[POI2017]Podzielno【数学】

正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P5956

---

题目大意

\(B\)进制下，给出序列\(a\)，\(a_i\)表示数字\(i\)有多少个。求一个最大的\(X\)在\(B\)进制下，由给出的数字组成（不一定要用完），且其是\(B-1\)的倍数。

\(q\)次询问\(X\)的第\(k\)位是几。

\(2\leq B\leq 10^6,1\leq q\leq 10^5,1\leq a_i\leq 10^6,0\leq k\leq 10^{18}\)

---

解题思路

设\(x_i\)表示第\(i\)位的话就是

\[\left(\sum_{i=0}x_i\times B^i\right)\%(B-1)=0\Rightarrow \sum_{i=0}\left(x_i\times B^i\%(B-1)\right)=0 \]

拆开单独的一个来看

\[x_i\times B^i\%(B-1)=(\ x_i\%(B-1)\ )\times (\ B^i\%(B-1)\ ) \]

\[=x_i\%(B-1)\times 1 \]

所以其实就是各位数字的和为\(B-1\)的倍数就好了。

然后再回头看题目发现有限制\(a_i\geq 1\)。这样如果用上所有数字的和对\(B-1\)取模为\(t\)的话，若\(t\)不为\(0\)，我们就让\(a_t\)减去一个\(1\)就好了。

然后对于询问求一个前缀和然后二分

时间复杂度\(O(B+q\log B)\)

---

code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=1e6+10;
ll B,q,a[N];
signed main()
{
	scanf("%lld%lld",&B,&q);
	ll t=0;
	for(ll i=0;i<B;i++){
		scanf("%lld",&a[i]);
		(t+=a[i]*i)%=B-1;
	}
	if(t)a[t]--;
	for(ll i=0;i<B;i++)a[i]+=a[i-1];
	while(q--){
		ll x;scanf("%lld",&x);x++;
		if(x>a[B-1])puts("-1");
		else printf("%lld\n",lower_bound(a,a+B,x)-a);
	}
	return 0;
}