P5956-[POI2017]Podzielno【数学】

1|0正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P5956

1|1题目大意

$B$ 进制下，给出序列 $a$ ， $a_i$ 表示数字 $i$ 有多少个。求一个最大的 $X$ 在 $B$ 进制下，由给出的数字组成（不一定要用完），且其是 $B-1$ 的倍数。

$q$ 次询问 $X$ 的第 $k$ 位是几。

$2\leq B\leq 10^6,1\leq q\leq 10^5,1\leq a_i\leq 10^6,0\leq k\leq 10^{18}$

1|2解题思路

设 $x_i$ 表示第 $i$ 位的话就是

(\sum_{i = 0} x_{i} \times B^{i}) % (B - 1) = 0 \Rightarrow \sum_{i = 0} (x_{i} \times B^{i} % (B - 1)) = 0

$\left(\sum_{i=0}x_i\times B^i\right)\%(B-1)=0\Rightarrow \sum_{i=0}\left(x_i\times B^i\%(B-1)\right)=0$

拆开单独的一个来看

x_{i} \times B^{i} % (B - 1) = (x_{i} % (B - 1)) \times (B^{i} % (B - 1))

$x_i\times B^i\%(B-1)=(\ x_i\%(B-1)\ )\times (\ B^i\%(B-1)\ )$

= x_{i} % (B - 1) \times 1

$=x_i\%(B-1)\times 1$

所以其实就是各位数字的和为 $B-1$ 的倍数就好了。

然后再回头看题目发现有限制 $a_i\geq 1$ 。这样如果用上所有数字的和对 $B-1$ 取模为 $t$ 的话，若 $t$ 不为 $0$ ，我们就让 $a_t$ 减去一个 $1$ 就好了。

然后对于询问求一个前缀和然后二分

时间复杂度 $O(B+q\log B)$

1|3code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=1e6+10;
ll B,q,a[N];
signed main()
{
	scanf("%lld%lld",&B,&q);
	ll t=0;
	for(ll i=0;i<B;i++){
		scanf("%lld",&a[i]);
		(t+=a[i]*i)%=B-1;
	}
	if(t)a[t]--;
	for(ll i=0;i<B;i++)a[i]+=a[i-1];
	while(q--){
		ll x;scanf("%lld",&x);x++;
		if(x>a[B-1])puts("-1");
		else printf("%lld\n",lower_bound(a,a+B,x)-a);
	}
	return 0;
}

__EOF__

本文作者：QuantAsk
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