P5825-排列计数【EGF,NTT】

1|0正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P5825

1|1题目大意

对于每个 $k$ ，求有多少个长度为 $n$ 的排列有 $k$ 个位置上升。
$1\leq n\leq 2\times 10^5$

1|2解题思路

考虑到同时考虑大于和小于十分麻烦，设 $f_i$ 表示钦定 $i$ 个上升时的方案

连续的上升段可以视为同一个组，那么整个序列就会被分为 $m=n-k$ 段，每个组内都是无序的。

所以可以考虑一下 $\text{EGF}$ 来做，因为不能选空段，那么每一段的生成函数就是 $e^x-1$ 。

也就是 $f_{n-m}=(e^x-1)^m[x^n]$ 。二项式定理展开一下

f_{m} = \sum_{i = 0}^{m} (\binom{m}{i}) (- 1)^{m - i} e^{i x}

$f_m=\sum_{i=0}^m\binom{m}{i}(-1)^{m-i}e^{ix}$

= \sum_{i = 0}^{m} \frac{m!}{i! (m - i)!} (- 1)^{m - i} \frac{i^{n}}{n!}

$=\sum_{i=0}^m\frac{m!}{i!(m-i)!}(-1)^{m-i}\frac{i^n}{n!}$

= \frac{m!}{n!} \sum_{i = 0}^{m} \frac{(- 1)^{m - i}}{(m - i)!} \frac{i^{n}}{i!}

$=\frac{m!}{n!}\sum_{i=0}^m\frac{(-1)^{m-i}}{(m-i)!}\frac{i^n}{i!}$

$\text{NTT}$ 卷起来就好了。

然后 $g_i$ 表示恰好有 $i$ 个的话，上二项式反演即可

f_{i} = \sum_{j = 0}^{i} (\binom{i}{j}) g_{j} \Rightarrow g_{i} = \sum_{j = i} (- 1)^{j - i} (\binom{j}{i}) f_{j}

$f_i=\sum_{j=0}^i\binom{i}{j}g_j\Rightarrow g_i=\sum_{j=i}(-1)^{j-i}\binom{j}{i}f_j$

这个也是显然可以卷积快速求得的。

顺带一提的是，这个求得其实就是欧拉数 $\left\langle\begin{matrix} n\\k\end{matrix}\right\rangle$

联立上面的 $f_i$ 和 $g_i$ 的式子可以得到欧拉数的通式

⟨ \begin{matrix} n \\ k \end{matrix} ⟩ = \sum_{i = 0}^{n - k} (- 1)^{n - k - i} i^{n} (\binom{n + 1}{k + j + 1})

$\left\langle\begin{matrix} n\\k\end{matrix}\right\rangle=\sum_{i=0}^{n-k}(-1)^{n-k-i}i^n\binom{n+1}{k+j+1}$

这个可以一次卷积求得

时间复杂度 $O(n\log n)$

1|3code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=8e5+10,P=998244353;
ll n,m,inv[N],fac[N],f[N],g[N],r[N];
ll power(ll x,ll b){
	ll ans=1;
	while(b){
		if(b&1)ans=ans*x%P;
		x=x*x%P;b>>=1;
	}
	return ans;
}
void NTT(ll *f,ll op){
	for(ll i=0;i<m;i++)
		if(i<r[i])swap(f[i],f[r[i]]);
	for(ll p=2;p<=m;p<<=1){
		ll tmp=power(3,(P-1)/p),len=(p>>1);
		if(op==-1)tmp=power(tmp,P-2);
		for(ll k=0;k<m;k+=p){
			ll buf=1;
			for(ll i=k;i<k+len;i++){
				ll tt=f[i+len]*buf%P;
				f[i+len]=(f[i]-tt+P)%P;
				f[i]=(f[i]+tt)%P;
				buf=buf*tmp%P;
			}
		}
	}
	if(op==-1){
		ll invn=power(m,P-2);
		for(ll i=0;i<m;i++)
			f[i]=f[i]*invn%P;
	}
	return;
}
signed main()
{
	scanf("%lld",&n);
	inv[1]=1;
	for(ll i=2;i<=n;i++)
		inv[i]=P-inv[P%i]*(P/i)%P;
	inv[0]=fac[0]=1;
	for(ll i=1;i<=n;i++)
		inv[i]=inv[i-1]*inv[i]%P,fac[i]=fac[i-1]*i%P;
	for(ll i=0;i<=n;i++)
		f[i]=inv[i]*power(i,n)%P,g[i]=(i&1)?(P-inv[i]):inv[i];
	m=1;while(m<=2*n)m<<=1;
	for(ll i=0;i<m;i++)
		r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)?(m>>1):0);
	NTT(f,1);NTT(g,1);
	for(ll i=0;i<m;i++)f[i]=f[i]*g[i]%P;
	NTT(f,-1);
	memset(g,0,sizeof(g));
	for(ll i=0;i<m;i++)
		f[i]=(i<n)?(f[i+1]*fac[i+1]%P):0;
	for(ll i=n;i<m;i++)f[i]=0;
	for(ll i=0;i<n;i++){
		f[i]=f[i]*fac[n-i-1];
		f[i]=(i&1)?(P-f[i]):f[i];
		g[i]=inv[i];
	}
	NTT(f,1);NTT(g,1);
	for(ll i=0;i<m;i++)f[i]=f[i]*g[i]%P;
	NTT(f,-1);
	for(ll i=0;i<n-i-1;i++)swap(f[i],f[n-i-1]);
	for(ll i=0;i<n;i++){
		f[i]=f[i]*inv[i]%P;
		f[i]=((n-i)&1)?f[i]:(P-f[i]);
		printf("%lld ",f[i]%P);
	}
	putchar('0');
	return 0;
}

__EOF__

本文作者：QuantAsk
本文链接：https://www.cnblogs.com/QuantAsk/p/14620442.html
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