P6672-[清华集训2016]你的生命已如风中残烛【结论】

1|0正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P6672

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1|1题目大意

长度为$m$的序列$a$，有$n$个数字不是$0$，其他$m-n$个是$0$。要求重排后有多少方案满足

$$\forall x,\sum_{i=1}^xa_i\geq i$$

其中$m=\sum_{i=1}^{n}a_i$

$1\leq n\leq 40,1\leq a_i\leq 10^5$

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1|2解题思路

具体数学P301页有一个$Reney$引理（虽然我还没看到）：
假设一个整数序列何为$1$，那么它的所有循环位移中有且仅有一个满足所有的前缀和为$+1$

然后考虑这题，都减去一的话就是要求都为非负了，而且所有数的和为$0$。

怎么转换成上面那种情况，加一个进去$1$的话不是很行，因为有很多正数所以我们不能保证这个$1$排在最前面。

反着考虑，把所有数取反再加一个$1$的话就可以了，因为这样正数就只有$1$了。

所以的话它的圆排列个数就是$m!$个了，但是多了一个$-1$我们要减去这个$-1$的影响，其实就是多塞一个$-1$进去的话，就是多了$m-n+1$个了。所以答案就是

$$\frac{m!}{m-n+1}$$

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1|3code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll P=998244353;
ll n,m,ans;
ll power(ll x,ll b){
	ll ans=1;
	while(b){
		if(b&1)ans=ans*x%P;
		x=x*x%P;b>>=1;
	}
	return ans;
}
signed main()
{
	scanf("%lld",&n);
	for(ll i=1;i<=n;i++){
		ll x;scanf("%lld",&x);
		m+=x;
	}
	ans=1;
	for(ll i=1;i<=m;i++)ans=ans*i%P;
	printf("%lld\n",ans*power(m-n+1,P-2)%P);
	return 0;
}

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本文作者：QuantAsk
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