P3335-[ZJOI2013]蚂蚁寻路【dp】

正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P3335

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题目大意

给出\(n\times m\)的网格，每个格子有权值。一个回路在格子的边上，要求有\(2\times k\)次左转，其他都是右转，且最后\(2\)次一定得是右转。

求包含的格子权值和最大。

\(1\leq n,m\leq 100,0\leq k\leq 10\)

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解题思路

看起来很像插头\(dp\)对吧，但是因为最后两下得是右转所以不是插头\(dp\)。

画一下不难发现包围出来的图形的底部一定是平的，然后上面是一个凹凸的形状。且会有\(k+1\)个凸，\(k\)个凹。也就是将固定的底部划分成\(2\times k+1\)个凹凸相间的矩形。

先枚举一个底部，然后考虑\(dp\)。设\(f_{j,p,h}\)表示现在到第\(j\)列，第\(p\)个正方形，高度为\(h\)时的最大权值。

转移的时候根据\(p\)的奇偶性决定是在上还是在下，当然也可以直接延长这个矩形。

做个前缀和优化就是\(O(n^2mk)\)的了

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=110;
int n,m,k,a[N][N],s[N][N],f[N][30][N],g[N][30][N][2],ans;
int main()
{
	scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);k=k*2+1; 
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=m;j++){
			scanf("%d",&a[i][j]);
			s[i][j]=s[i-1][j]+a[i][j];
		}
	for(int p=1;p<=k;p++)
		for(int h=1;h<=n;h++)
			f[0][p][h]=g[0][p][h][0]=g[0][p][h][1]=-1e9;
	ans=-1e9; 
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=m;j++){
			for(int p=1;p<=k;p++){
				for(int h=1;h<=i;h++)
					f[j][p][h]=max(f[j-1][p][h],g[j-1][p-1][h][p&1])+s[i][j]-s[i-h][j];
				g[j][p][1][1]=g[j][p][i][0]=-1e9;
				for(int h=i-1;h>=1;h--)
					g[j][p][h][0]=max(g[j][p][h+1][0],f[j][p][h+1]);
				for(int h=2;h<=i;h++)
					g[j][p][h][1]=max(g[j][p][h-1][1],f[j][p][h-1]);
			}
			for(int h=1;h<=i;h++)
				ans=max(ans,f[j][k][h]);
		}
	printf("%d\n",ans); 
	return 0;
}