POJ3734-Blocks【EGF】

1|0正题

1|1题目大意

用思种颜色给 $n$ 个格子染色，要求前两种颜色出现偶数次，求方案。

$1\leq T\leq 100,1\leq n\leq 10^9$

1|2解题思路

反正是 $\text{EGF}$ 的十分入门题了。
首先是 $\sum_{i=0}^{\infty}\frac{x^i}{i!}=e^x$ 。
这题带标号计数所以求的是

(\sum_{i = 0}^{\infty} \frac{x^{2 i}}{2 i!})^{2} \times (\sum_{i = 0}^{\infty} \frac{x^{i}}{i!})^{2}

$(\sum_{i=0}^\infty\frac{x^{2i}}{2i!})^2\times (\sum_{i=0}^\infty\frac{x^i}{i!})^2$

嗯，后面那个就是 $e^x$ ，前面那个怎么搞。

考虑点花里胡哨的东西， $e^{-x}=\sum_{i=0}^\infty (-1)^i\frac{x^i}{i!}$ ，然后我们就有

\sum_{i = 0}^{\infty} \frac{x^{2 i}}{2 i!} = \frac{e + e^{- x}}{2}

$\sum_{i=0}^\infty\frac{x^{2i}}{2i!}=\frac{e+e^{-x}}{2}$

然后带进式子就是

(\frac{e^{x} + e^{- x}}{2})^{2} \times e^{2 x} = \frac{e^{4 x} + 2 e^{2 x} + 1}{4}

$(\frac{e^x+e^{-x}}{2})^2\times e^{2x}=\frac{e^{4x}+2e^{2x}+1}{4}$

然后 $e^{ax}=\sum_{i=0}^{\infty}a^i\frac{x^i}{i!}$ ，所以展开一下项就是

[x^{n}] = \frac{4^{n} + 2^{n} \times 2}{4} = 4^{n - 1} + 2^{n - 1}

$[x^n]=\frac{4^n+2^n\times 2}{4}=4^{n-1}+2^{n-1}$

时间复杂度 $O(T\log n)$

1|3code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int P=10007;
int n,T;
int power(int x,int b){
	int ans=1;
	while(b){
		if(b&1)ans=ans*x%P;
		x=x*x%P;b>>=1;
	}
	return ans;
}
int main()
{
	scanf("%d",&T);
	while(T--){
		scanf("%d",&n);n--;n%=(P-1);
		printf("%d\n",(power(2,n)+power(4,n))%P);
	}
}

__EOF__

本文作者：QuantAsk
本文链接：https://www.cnblogs.com/QuantAsk/p/14602109.html
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