P7323-[WC2021]括号路径【并查集,启发式合并】

1|0正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P7323

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1|1题目大意

给出$n$个点的一张有向图。每个边$(u,v,w)$表示$u->v$有一个类型$w$的左括号边，$v->u$有一个类型$w$的右括号边。

求图中有多少点对满足它们之间有一条合法的括号序列路径

$1\leq n\leq 3\times 10^5,1\leq m\leq 6\times 10^5,1\leq k\leq n$

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1|2解题思路

一个显然的结论是如果两个点之间有合法路径那么连一条边的话，那么最后出来的是一个团。

因为$f(u,v)=1\Rightarrow f(v,u)=1$（路径翻转），$f(u,v)=f(v,z)=1\Rightarrow f(u,z)=1$（路径拼接）。

考虑怎么求出这些团。假设我们现在有一个团$x$，它连接向团外有两条类型一样的边，那么就代表我们可以把这两条边连接的节点（或者团）合并入这个团中。

然后合并的时候我们因为又要处理类型一样的边，所以我们用启发式合并枚举小的那个暴力丢进大的里面就好了。

时间复杂度$O(n\log^2 n)$，用线段树合并可以做到$O(n\log n)$（也许？

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1|3code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<queue>
#include<map>
#define mp(x,y) make_pair(x,y)
using namespace std;
const int N=3e5+10;
int n,m,k,fa[N],cnt[N];
long long ans;
queue<pair<int,int> >q;
map<int,int> G[N];
int find(int x)
{return (fa[x]==x)?x:(fa[x]=find(fa[x]));}
map<int,int>::iterator it;
int main()
{
	scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
	for(int i=1;i<=m;i++){
		int x,y,w;
		scanf("%d%d%d",&x,&y,&w);
		swap(x,y);
		if(G[x][w])q.push(mp(G[x][w],y));
		else G[x][w]=y;
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)fa[i]=i;
	while(!q.empty()){
		int x=q.front().first,y=q.front().second;
		x=find(x);y=find(y);q.pop();
		if(x==y)continue;
		if(G[x].size()<G[y].size())swap(x,y);
		for(it=G[y].begin();it!=G[y].end();it++){
			int w=it->first,z=it->second;
			if(G[x][w])q.push(mp(G[x][w],z));
			else G[x][w]=z;
		}
		fa[y]=x;
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)cnt[find(i)]++;
	for(int i=1;i<=n;i++)ans+=1ll*cnt[i]*(cnt[i]-1)/2ll;
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}

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本文作者：QuantAsk
本文链接：https://www.cnblogs.com/QuantAsk/p/14600494.html
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