P4640-[BJWC2008]王之财宝【OGF,Lucas定理】

1|0正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P4640

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1|1题目大意

$n$种物品，其中$t$种物品是有个数限制的，第$i$种限制为$b_i$，求选出$m$个物品的方案数$\% p$的值
$1\leq n,m,b_i\leq 10^9,0\leq t\leq 15,p\in[1,10^5]\cap Pri$

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1|2解题思路

看上去就很$\text{OGF}$的题目？
对于有限制的物品为$f(x)=\frac{1-x^{b_i+1}}{1-x}$，其他都是$f(x)=\frac{1}{1-x}$。

然后$n$个乘起来的话然后求前$m$次项的系数。

分子因为只有$t$个有值，直接暴力乘起来。下面那个分母是$\frac{1}{(1-x)^n}$

所以对于上面如果有一个$ax^{m-k}$那么就会产生贡献

$$a\sum_{i=0}^{k}\binom{n+i-1}{n}=a\binom{n+k}{n}$$

（相等于选出$0\sim k$个球放进$n$个盒子里，开一个垃圾箱把没用的球放进去就好了）

然后模数小，开$Lucas$就好了

时间复杂度$O(2^t\log_p n)$

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1|3code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=1e5+10;
ll n,t,m,p,b[20],ans,inv[N],fac[N];
ll C(ll n,ll m)
{return fac[n]*inv[m]%p*inv[n-m]%p;}
ll L(ll n,ll m){
	if(n<m)return 0;
	if(n<p)return C(n,m);
	return L(n/p,m/p)*L(n%p,m%p)%p;
}
signed main()
{
	scanf("%lld%lld%lld%lld",&n,&t,&m,&p);
	for(ll i=0;i<t;i++)scanf("%lld",&b[i]),b[i]++;
	inv[1]=1;
	for(ll i=2;i<p;i++)
		inv[i]=p-inv[p%i]*(p/i)%p;
	inv[0]=fac[0]=1;
	for(ll i=1;i<p;i++)
		fac[i]=fac[i-1]*i%p,inv[i]=inv[i-1]*inv[i]%p;
	ll MS=(1<<t); 
	for(ll s=0;s<MS;s++){
		ll f=1,sum=0;
		for(ll i=0;i<t;i++)
			if((s>>i)&1)f=-f,sum+=b[i];
		(ans+=L(n+m-sum,n)*f)%=p;
	}
	printf("%lld\n",(ans+p)%p);
	return 0;
}

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本文作者：QuantAsk
本文链接：https://www.cnblogs.com/QuantAsk/p/14599760.html
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