UOJ#33-[UR #2]树上GCD【长链剖分,根号分治】
正题
题目链接:https://uoj.ac/problem/33
题目大意
给出\(n\)个点的一棵树
定义\(f(x,y)=gcd(\ dis(x,lca),dis(y,lca)\ )\)。
对于每个\(i\)求有多少对\(f(x,y)=i(x<y)\)
\(1\leq n\leq 10^5\)
解题思路
首先肯定是枚举\(lca\)节点,然后看他子树里的情况,比较麻烦的是\(gcd\)刚刚好是\(d\),但是其实我们可以是\(d\)的倍数的情况,然后后面再容斥出答案。
如果,然后暴力算的话首先需要一个长链剖分,然后每次是\(len\ log\ len\)的。
但是仔细想一想就会发现这个复杂度其实是假的,因为每次暴力算的话的\(len\)是这条链上面那条链的\(len\)。
考虑点其他做法,因为是枚举倍数,我们可以上我们的根号分治
对于\(dis>\sqrt n\)的情况,我们之间暴力枚举倍数,因为这样不会超过\(\sqrt n\)次
对于\(dis\leq \sqrt n\)的情况,我们考虑储存一些东西,设\(g_{i,j}\)表示当前的链中\(dep\)模\(i\)为\(j\)的点的个数,然后处理的时候我们就可以直接用这个来计算了。
这样平衡下来时间复杂度就是\(O(n\sqrt n)\)了
code
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cctype>
using namespace std;
const int N=2e5+10;
struct node{
int to,next;
}a[N];
int n,T,len[N],dep[N],h[N],g[400][400];
int tot,t[N],ls[N],son[N],*f[N],*now;
long long ans[N],pre[N];
int read(){
int x=0,f=1;char c=getchar();
while(!isdigit(c)){if(c=='-')f=-f;c=getchar();}
while(isdigit(c)){x=(x<<1)+(x<<3)+c-'0';c=getchar();}
return x*f;
}
void addl(int x,int y){
a[++tot].to=y;
a[tot].next=ls[x];
ls[x]=tot;
}
void dfs(int x){
for(int i=ls[x];i;i=a[i].next){
int y=a[i].to;
dep[y]=dep[x]+1;dfs(y);
if(len[y]>len[son[x]])son[x]=y;
}
len[x]=len[son[x]]+1;
return;
}
void calc(int x,int top){
f[x][0]=1;
for(int i=ls[x];i;i=a[i].next){
int y=a[i].to;
if(y==son[x])continue;
f[y]=now;now+=len[y];calc(y,y);
}
if(son[x]){
f[son[x]]=f[x]+1;
calc(son[x],top);
}
for(int i=ls[x];i;i=a[i].next){
int y=a[i].to;
if(y==son[x])continue;
for(int j=1;j<=len[y];j++)t[j]=f[y][j-1];
for(int j=1;j<=len[y];j++)
for(int k=2*j;k<=len[y];k+=j)t[j]+=t[k];
for(int j=1;j<=len[y];j++)
if(j>T){
for(int k=j;k<len[x];k+=j)
ans[j]+=1ll*f[x][k]*t[j];
}
else ans[j]+=1ll*g[j][dep[x]%j]*t[j];
for(int j=1;j<=len[y];j++)
f[x][j]+=f[y][j-1];
for(int j=0;j<len[y];j++)
for(int k=1;k<=T;k++)
g[k][(j+dep[y])%k]+=f[y][j];
}
for(int i=1;i<=T;i++)g[i][dep[x]%i]++;
if(x==top){
for(int i=1;i<=T;i++)
for(int j=0;j<len[x];j++)
g[i][(j+dep[x])%i]=0;
}
return;
}
signed main()
{
n=read();
for(int i=2;i<=n;i++)
addl(read(),i);
dfs(1);T=sqrt(n);
if(T>350)T=350;
f[1]=now=h;now+=len[1];
calc(1,1);
for(int i=n;i>=1;i--)
for(int j=2*i;j<=n;j+=i)
ans[i]-=ans[j];
for(int i=2;i<=n;i++)pre[dep[i]]++;
for(int i=n;i>=1;i--)pre[i]+=pre[i+1];
for(int i=1;i<n;i++)
printf("%lld\n",ans[i]+pre[i]);
return 0;
}