P2490-[SDOI2011]黑白棋【博弈论,dp】

1|0正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P2490

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1|1题目大意

一个长度为$n$的棋盘上放下$k$个棋子。

第一个要是白色，下一个要是黑色，在下一个是白色以此类推。

先手操控白，后手操控黑。白色只能往右，黑色只能往左。每次操作的可以移动$d$个棋子任意步。

求先手必胜的初始状态数

$1\leq d\leq k\leq n\leq 10^4,1\leq k\leq 100$且$k$为偶数

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1|2解题思路

把两个黑白棋子之间的长度看为石头堆就是一个$Nim_k$游戏了。

$Nim_k$游戏的结论就是$k+1$进制下各个位置的$1$的个数$\% (k+1)$等于$0$的话先手必败。

因为先手必胜比较麻烦，考虑减去先手必败的情况

这个东西和昨天的一道$ARC$的题目很像，每个位分开考虑，设$f_{i,j}$表示前$i$个位都是$0$时，用了$j$个石头的方案。

那么转移也十分显然，枚举一个选的倍数$i$然后分配到$\frac{k}{2}$个石头堆中，方案数就是$\binom{\frac{k}{2}}{i\times (d+1)}$。

然后统计答案的时候对于石子和为$i$的贡献就是$\binom{n-\frac{k}{2}-i}{\frac{k}{2}}$（因为每一堆的个数固定，所以选择起点就好了）

时间复杂度$O(nk\log n)$

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1|3code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=1e4+10,M=110,P=1e9+7;
ll n,k,d,ans,C[N][M],f[16][N];
signed main()
{
	scanf("%lld%lld%lld",&n,&k,&d);
	C[0][0]=1;n-=k;k/=2;d++;
	for(ll i=1;i<N;i++)
		for(ll j=0;j<M;j++)
			C[i][j]=((j?C[i-1][j-1]:0)+C[i-1][j])%P;
	ll z=0;ans=C[n+2*k][k*2];f[0][0]=1;
	for(ll p=1;p<=n;p<<=1){
		z++;
		for(ll j=0;j<=n;j++)
			for(ll i=0;j+i*p*d<=n&&i*d<=k;i++)
				(f[z][j+i*p*d]+=f[z-1][j]*C[k][i*d]%P)%=P;
	}
	for(ll i=0;i<=n;i++)
		(ans+=P-f[z][i]*C[n+k-i][k]%P)%=P;
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}

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本文作者：QuantAsk
本文链接：https://www.cnblogs.com/QuantAsk/p/14593710.html
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