牛客练习赛79E-小G的数学难题【dp,单调队列】

1|0正题

题目链接:https://ac.nowcoder.com/acm/contest/11169/E

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1|1题目大意

给出$n$个三元组$(a_i,b_i,c_i)$。

要求选出一个集合$S$，要求

$$\left(\sum_{i\in S}a_i\right)\leq P,\left(\sum_{i\in S}b_i\right)\geq P$$

且最小化$\sum_{i\in S}c_i$

$1\leq T\leq 5,1\leq n\leq 1000,1\leq P\leq 10000,1\leq a_i\leq b_i\leq 2\times 10^6,1\leq c_i\leq 2\times 10^6$

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1|2解题思路

暴力的思路是设$f_{i,l,r}$表示到第$i$个，$a_i$的和为$l$，$b_i$的和为$r$时的最小值。

但是这个$O(nP^2)$的显然不行，发现有一个$a_i\leq b_i$的性质考虑怎么使用。

其实还要一个相关的性质就是两个的限制的$P$是相等的，虽然看起来比较废话但确实是有用的。

一个十分巧妙的$dp$是设$f_{i,j}$表示$a_i$的和$\leq j$且$b_i$的和$\geq j$。虽然这样的限制不完全，但是这样确实可以统计到最小答案且不会统计到更小答案。

转移就是

$$f_{i,j}=min\{f_{i-1,j},f_{i-1,p}+c_i\}(p\in[j-b_i,j-a_i])$$

这样每一层用单调队列维护就可以了

时间复杂度$O(TnP)$

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1|3code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=1100;
ll T,n,P,a[N],b[N],c[N],f[N][N*10],q[N*10];
signed main()
{
	scanf("%lld",&T);
	while(T--){
		scanf("%lld%lld",&n,&P);
		for(ll i=1;i<=n;i++)scanf("%lld",&a[i]);
		for(ll i=1;i<=n;i++)scanf("%lld",&b[i]);
		for(ll i=1;i<=n;i++)scanf("%lld",&c[i]);
		memset(f,0x3f,sizeof(f));f[0][0]=0;
		for(ll i=1;i<=n;i++){
			ll tail=0,head=1,z=-1;
			for(ll j=0;j<=P;j++){
				f[i][j]=f[i-1][j];
				ll l=j-b[i],r=j-a[i];
				while(z<r){
					z++;
					if(f[i-1][z]>=1e18)continue;
					while(head<=tail&&f[i-1][q[tail]]>f[i-1][z])tail--;
					q[++tail]=z;
				}
				while(head<=tail&&q[head]<l)head++;
				if(head<=tail)f[i][j]=min(f[i][j],f[i-1][q[head]]+c[i]);
			}
		}
		if(f[n][P]>=1e18)printf("IMPOSSIBLE!!!\n");
		else printf("%lld\n",f[n][P]); 
	}
	return 0;
}

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本文作者：QuantAsk
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