P7444-「EZEC-7」猜排列【dp】

1|0正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P7444

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1|1题目大意

一个长度为$n$的排列，已知每个$c_i$表示那个排列中$mex$为$i$的区间个数。求满足条件的排列个数

$1\leq n\leq 5\times 10^5,c_i\geq 0,\sum_{i=1}^nc_i=\frac{n(n+1)}{2}-1$

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1|2解题思路

考虑一个朴素的$dp$，设$f_{i,l,r}$表示加入了$1\sim i$，然后最大区间是$[l,r]$时的方案。

那么每次插入一个数$i$的时候如果$c_i=0$那么它一定在目前的最大区间里，否则需要扩展到区间外，每次有往左或者往右扩展。

不难发现对于$1\sim i$扩展到$l$，那么$r$是固定的，所以我们可以直接用$f_{i,l}$来表示状态，但是这样还是$O(n^2)$的，其实状态数比较少的，因为对于一个$i$来说需要扩展的$a_i$都是一些倍数形的。

其实总状态数不会超过$\sum_{i=1}^n\sqrt{a_i}$，因为上限很难到，所以用个$vector$记录一下状态就能够过了

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1|3code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<vector>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=5e5+10,P=998244353;
ll n,a[N],f[2][N],ed[2][N],vis[N];
vector<int> v[2]; 
signed main()
{
	scanf("%lld",&n);
	for(ll i=0;i<n;i++)
		scanf("%lld",&a[i]);
	ll Ans=0,s=0;
	for(ll i=1;i<=n;i++){
		ll l=i-1,r=n-i;
		if(l*(l+1)+r*(r+1)==a[0]*2)
			s=i,Ans++;
	}
	if(!Ans)return puts("0")&0;
	f[0][s]=1;ed[0][s]=s;v[0].push_back(s);
	for(ll i=1;i<n-1;i++){
		v[i&1].clear();
		for(ll p=0;p<v[~i&1].size();p++){
			ll l=v[~i&1][p],r=ed[~i&1][l];
			if(vis[l]==i)continue;vis[l]=i;
			if(!a[i]){
				if(r-l-i<0)continue;
				(f[i&1][l]+=f[~i&1][l]*(r-l-i+1)%P)%=P;
				ed[i&1][l]=r;v[i&1].push_back(l);
			}
			else{
				ll lk=l,rk=n-r+1;
				if(a[i]%lk==0){
					ll nr=r+a[i]/lk;
					(f[i&1][l]+=f[~i&1][l])%=P;
					ed[i&1][l]=nr;v[i&1].push_back(l);
				} 
				if(a[i]%rk==0){
					ll nl=l-a[i]/rk;
					(f[i&1][nl]+=f[~i&1][l])%=P;
					ed[i&1][nl]=r;v[i&1].push_back(nl);
				}
			}
		}
		for(ll p=0;p<v[~i&1].size();p++)
			f[~i&1][v[~i&1][p]]=0;
	}
	ll ans=0;
	for(ll i=1;i<=n;i++)
		(ans+=f[(n-2)&1][i])%=P;
	printf("%lld\n",ans*Ans%P);
	return 0;
}

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本文作者：QuantAsk
本文链接：https://www.cnblogs.com/QuantAsk/p/14578729.html
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