P6620-[省选联考2020A卷]组合数问题【组合数学,斯特林数】

1|0正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P6620

1|1题目大意

给出 $n,x,p,m$ 和一个 $m$ 次多项式 $f$ 求

\sum_{k = 0}^{n} f (k) \times x^{k} \times (\binom{n}{k})

$\sum_{k=0}^nf(k)\times x^k\times \binom{n}{k}$

答案对 $p$ 取模。

$1\leq n\leq 10^9,1\leq m\leq 1000$

1|2解题思路

什么混凝土数学题

首先我们发现这个组合数 $\binom{n}{k}$ 处理的十分难受，有一个下降幂的结论正好可以把这个难受的 $k$ 变掉。

(\binom{n}{k}) \times k^{\underline{m}} = (\binom{n - m}{k - m}) \times n^{\underline{m}}

$\binom{n}{k}\times k^{\underline{m}}=\binom{n-m}{k-m}\times n^{\underline m}$

我们需要找到一个东西来提供 $k^{\underline m}$ ，此时给我们的多项式 $f$ 就是一个不错的选择。

我们考虑把多项式转换为下降幂的形式

f (x) = \sum_{i = 0}^{m} a_{i} x^{i} = \sum_{i = 0}^{m} b_{i} x^{\underline{i}}

$f(x)=\sum_{i=0}^ma_ix^i=\sum_{i=0}^mb_ix^{\underline i}$

考虑一下怎么找到序列 $b_i$ ，也就是我们需要把 $x^i$ 转换为下降幂的形式，有一个第二类斯特林数的性质就是

x^{n} = \sum_{i = 0}^{n} {\begin{matrix} n \\ i \end{matrix}} x^{\underline{i}}

$x^n=\sum_{i=0}^{n}{\begin{Bmatrix}n\\i\end{Bmatrix}}x^{\underline i}$

\sum_{i = 0}^{m} a_{i} x^{i} = \sum_{i = 0}^{m} a_{i} \sum_{j = 0}^{i} {\begin{matrix} i \\ j \end{matrix}} x^{\underline{j}} \Rightarrow b_{i} = \sum_{i = j}^{n} {\begin{matrix} j \\ i \end{matrix}} x^{\underline{i}}

$\sum_{i=0}^ma_ix^i=\sum_{i=0}^ma_i\sum_{j=0}^i{\begin{Bmatrix}i\\j\end{Bmatrix}}x^{\underline j}\Rightarrow b_i=\sum_{i=j}^n{\begin{Bmatrix}j\\i\end{Bmatrix}}x^{\underline{i}}$

然后就可以继续推我们的式子了

\sum_{k = 0}^{n} \sum_{i = 0}^{m} b_{i} k^{\underline{i}} \times x^{k} \times (\binom{n}{k})

$\sum_{k=0}^n\sum_{i=0}^mb_ik^{\underline i}\times x^k\times \binom{n}{k}$

\sum_{k = 0}^{n} \sum_{i = 0}^{m} b_{i} x^{k} (\binom{n - i}{k - i}) n^{\underline{i}}

$\sum_{k=0}^n\sum_{i=0}^mb_ix^k\binom{n-i}{k-i}n^{\underline i}$

把 $i$ 提出去枚举

\sum_{i = 0}^{m} b_{i} n^{\underline{i}} \sum_{k = 0}^{n} x^{k} (\binom{n - i}{k - i})

$\sum_{i=0}^mb_in^{\underline i}\sum_{k=0}^nx^k\binom{n-i}{k-i}$

\Rightarrow \sum_{i = 0}^{m} b_{i} n^{\underline{i}} x^{i} \sum_{k = 0}^{n - i} (\binom{n - i}{k}) x^{k}

$\Rightarrow \sum_{i=0}^mb_in^{\underline i}x^i\sum_{k=0}^{n-i}\binom{n-i}{k}x^k$

然后后面那个式子就可以二项式定理了

\Rightarrow \sum_{i = 0}^{m} b_{i} n^{\underline{i}} x^{i} (x + 1)^{n - i}

$\Rightarrow \sum_{i=0}^mb_in^{\underline i}x^i(x+1)^{n-i}$

然后就搞定了

时间复杂度 $O(m^2+m\log n)$

1|3code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=1100;
ll n,x,m,P,a[N],b[N],s[N][N],ans;
ll power(ll x,ll b){
	ll ans=1;
	while(b){
		if(b&1)ans=ans*x%P;
		x=x*x%P;b>>=1;
	}
	return ans;
}
signed main()
{
	scanf("%lld%lld%lld%lld",&n,&x,&P,&m);
	for(ll i=0;i<=m;i++)scanf("%lld",&a[i]);
	s[0][0]=1; 
	for(ll i=1;i<=m;i++)
		for(ll j=1;j<=i;j++)
			s[i][j]=(s[i-1][j]*j%P+s[i-1][j-1])%P;
	for(ll i=0;i<=m;i++)
		for(ll j=i;j<=m;j++)
			(b[i]+=a[j]*s[j][i]%P)%=P;
	for(ll i=0,tmp=1;i<=m;i++){
		(ans+=b[i]*tmp%P*power(x,i)%P*power(x+1,n-i)%P)%=P;
		tmp=tmp*(n-i)%P;
	}
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}

__EOF__

本文作者：QuantAsk
本文链接：https://www.cnblogs.com/QuantAsk/p/14578690.html
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