P4240-毒瘤之神的考验【莫比乌斯反演,平衡规划】

1|0正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P4240

1|1题目大意

$Q$ 组数据给出 $n,m$ 求

\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{m} φ (i \times j)

$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\varphi(i\times j)$

$1\leq Q\leq 10^4,1\leq n,m\leq 10^5$

1|2解题思路

首先需要知道的结论就是

φ (i \times j) = φ (i) φ (j) \frac{g c d (i, j)}{φ (g c d (i, j))}

$\varphi(i\times j)=\varphi(i)\varphi(j)\frac{gcd(i,j)}{\varphi(gcd(i,j))}$

然后推一下式子

\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{m} φ (i) φ (j) \frac{g c d (i, j)}{φ (g c d (i, j))}

$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\varphi(i)\varphi(j)\frac{gcd(i,j)}{\varphi(gcd(i,j))}$

\sum_{d = 1}^{n} \frac{d}{φ (d)} \sum_{d | i}^{n} \sum_{d | j}^{m} φ (i) φ (j) [g c d (i, j) = d]

$\sum_{d=1}^n\frac{d}{\varphi(d)}\sum_{d|i}^n\sum_{d|j}^m\varphi(i)\varphi(j)[gcd(i,j)=d]$

然后莫反一波

\sum_{d = 1}^{n} \frac{d}{φ (d)} \sum_{z | d}^{n} μ (\frac{z}{d}) \sum_{z | i}^{n} \sum_{z | j}^{m} φ (i) φ (j)

$\sum_{d=1}^n\frac{d}{\varphi(d)}\sum_{z|d}^n\mu(\frac{z}{d})\sum_{z|i}^n\sum_{z|j}^m\varphi(i)\varphi(j)$

提出 $z$ 来

\sum_{z = 1}^{n} (\sum_{z | i}^{n} φ (i) \sum_{z | j}^{m} φ (j)) \sum_{d | z} μ (\frac{z}{d}) \frac{d}{φ (d)}

$\sum_{z=1}^n(\sum_{z|i}^n\varphi(i)\sum_{z|j}^m\varphi(j))\sum_{d|z}\mu(\frac{z}{d})\frac{d}{\varphi(d)}$

后面那个很好求，线性筛然后 $O(n\log n)$ 处理就好了，并且设为 $g_i$ ，后面需要用到。但是前面那个比较麻烦，而且我们好像就推不动了。

这其实是一个挺经典的 $track$ 的，考虑平衡规划。设定一个 $T$ ，对于小于等于 $T$ 的部分我们暴力算，对于大于 $T$ 的部分我们考虑预处理。

设 $f_{i,j}=\sum_{j|x}^i\varphi(x)$ ，然后再设一个 $h_{i,j,k}$

h_{i, j, k} = \sum_{x = T + 1} f_{i, j} \times f_{i, k} \times g_{i}

$h_{i,j,k}=\sum_{x=T+1}f_{i,j}\times f_{i,k}\times g_{i}$

这个可以用一个前缀和 $O(n\frac{n}{T}^2)$ 的做到。

然后大于 $T$ 的部分我们就可以用上面预处理的 $h$ +整除分块做到 $O(\sqrt n)$ 了。

总共的时间复杂度是 $O(n\sqrt n+nT^2+Q(T+\sqrt n))$
将 $T$ 设为 $n^{\frac{2}{3}}$ 就是 $O(n\sqrt n+n^{\frac{4}{3}}+Qn^{\frac{2}{3}})$ 了。

1|3code

// QuantAsk is stoorz's son
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<cmath>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=1e5+10,P=998244353;
ll Q,n,m,cnt,pri[N],inv[N],mu[N],phi[N],g[N],o[N];
bool v[N];vector<ll> f[N],h[N];
void prime(){
	phi[1]=mu[1]=1;
	for(ll i=2;i<N;i++){
		if(!v[i])pri[++cnt]=i,phi[i]=i-1,mu[i]=-1;
		for(ll j=1;j<=cnt&&i*pri[j]<N;j++){
			v[i*pri[j]]=1;
			if(i%pri[j]==0){
				phi[i*pri[j]]=phi[i]*pri[j];
				break;
			}
			phi[i*pri[j]]=phi[i]*(pri[j]-1);
			mu[i*pri[j]]=-mu[i];
		}
	}
	inv[1]=1;
	for(ll i=2;i<N;i++)
		inv[i]=P-(P/i)*inv[P%i]%P;
	for(ll i=1;i<N;i++)
		for(ll j=i;j<N;j+=i)
			(g[j]+=inv[phi[i]]*i%P*mu[j/i])%=P;
	return;
}
signed main()
{
	prime();
	ll L=1e5,T=(ll)pow(L,2.0/3.0)+1;
	f[0].resize(L+1);
	for(ll i=1;i<=L;i++){
		f[i].resize(L/i+1);
		for(ll j=1;j<=L/i;j++)
			f[i][j]=(f[i][j-1]+phi[i*j])%P;
	}
	h[T].resize((L/T)*(L/T)+1);
	for(ll i=T+1;i<=L;i++){
		ll p=L/i;h[i].resize(p*p+1);
		for(ll j=1;j<=p;j++)
			for(ll k=1;k<=p;k++)
				h[i][(j-1)*p+k]=(h[i-1][(j-1)*o[i-1]+k]+f[i][j]*f[i][k]%P*g[i]%P)%P;
		o[i]=p;
	}
	scanf("%lld",&Q);
	while(Q--){
		scanf("%lld%lld",&n,&m);
		if(n>m)swap(n,m);ll ans=0;
		for(ll i=1;i<=min(T,n);i++)
			(ans+=f[i][n/i]*f[i][m/i]%P*g[i]%P)%=P;
		for(ll l=T+1,r;l<=n;l=r+1){
			r=min(n/(n/l),m/(m/l));
			(ans+=h[r][(n/l-1)*o[r]+m/l]-h[l-1][(n/l-1)*o[l-1]+m/l])%=P;
		}
		printf("%lld\n",(ans+P)%P);
	}
	return 0;
}

__EOF__

本文作者：QuantAsk
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