P5369-[PKUSC2018]最大前缀和【状压dp】

1|0正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P5369

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1|1题目大意

一个数列$a$的权值定义为$max\{\sum_{i=1}^ka_i\}(k\in[1,n])$
给出$n$个数字，求它们所有排列的权值和

$1\leq n\leq 20$

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1|2解题思路

设$s_i,f_i,g_i$分别表示集合$i$的权值和，集合$i$的所有排列中最大前缀和为$s_i$的方案数，集合$i$的所有排列中的最大前缀和为负的方案数。那么答案就是

$$\sum_{i=0}^{2^n-1} f_is_ig_{2^n-1-i}$$

$s_i$很好求。$g_i$的话我们只转移$s_i<0$的就可以了，$f_i$的话我们考虑每次在前面插入一个数，那么只要原来的是最大前缀和，那么插入之后也一定是。

时间复杂度$O(2^nn)$

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1|3code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=21,P=998244353;
int n,a[N],lg[1<<N],s[1<<N],f[1<<N],g[1<<N],ans;
int main()
{
	scanf("%d",&n);
	for(int i=0;i<n;i++)scanf("%d",&a[i]);
	for(int i=0;i<n;i++)lg[1<<i]=i;
	int MS=(1<<n);f[0]=g[0]=1;
	for(int i=1;i<MS;i++){
		int p=i&-i;
		s[i]=(s[i-p]+a[lg[p]])%P;
	}
	for(int i=0;i<MS;i++){
		if(s[i]<0)continue;
		for(int j=0;j<n;j++){
			if(i&(1<<j))continue;
			(f[i|(1<<j)]+=f[i])%=P;
		}
	}
	for(int i=0;i<MS;i++){
		for(int j=0;j<n;j++){
			if(i&(1<<j))continue;
			int z=i|(1<<j);
			if(s[z]<0)(g[z]+=g[i])%=P;
		}
	}
	for(int i=0;i<MS;i++)
		(ans+=1ll*f[i]*g[MS-1-i]%P*s[i]%P)%=P;
	printf("%d\n",(ans+P)%P);
	return 0;
}

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本文作者：QuantAsk
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