YbtOJ#912-神秘语言【结论,欧拉定理】

1|0正题

题目链接:http://www.ybtoj.com.cn/problem/912

1|1题目大意

给出 $L,R$ ，求有多少长度在 $[L,R]$ 之间的字符串满足依次取出所有偶数位置的放在最前面后，与原字符串相同。字符集是所有小写字母。

$1\leq Q\leq 5,1\leq L\leq R\leq 10^{10},R-L\leq 5\times 10^4$

1|2解题思路

这个东西可以理解为给出一些相等关系的边，然后求联通块的数量 $G$ ，然后方案就是 $26^G$ 。

设 $G(x)$ 表示 $x$ 的联通块数量。首先奇偶数不一样很麻烦，发现如果对于奇数 $x$ 有 $G(x)=G(x-1)+1$ （最后一个自己连自己）。所以我们只需要考虑偶数的。

$n$ 为偶数时给出的条件其实就是 $S_i=S_{2i\%(n+1)}$ ，然后此时考虑点 $x$ ，有 $d=gcd(x,n+1)$ ，那么有 $x=dk$ 。我们让 $x$ 向 $2x\%(n+1)$ 连边，考虑求出 $x$ 所在环的环长，也就是求一个最小的 $r$ 满足 $x\times2^r\equiv x(mod\ \ n+1)$ ，就是满足 $2^r\equiv1(mod\ \ \frac{n+1}{gcd(x,n+1)})$ ，后文记做 $ord(\frac{n+1}{gcd(x,n+1)})$ 。然后满足 $gcd(x,n+1)=d$ 的都在一些大小为 $r$ 的环中相互连接，这样的 $x$ 有 $\varphi(\frac{n+1}{gcd(x,n+1)})$ 个。所以这样的环有 $\frac{\varphi(\frac{n+1}{gcd(x,n+1)})}{ord(\frac{n+1}{gcd(x,n+1)})}$ ，然后改成枚举 $\frac{n+1}{gcd(x,n+1)}$ 就有一个比较舒服的式子

G (n) = \sum_{d | n, d > 1} \frac{φ (d)}{o r d (d)}

$G(n)=\sum_{d|n,d>1}\frac{\varphi(d)}{ord(d)}$

上面那个 $\varphi$ 很好求，考虑怎么求下面那个 $ord$ 。
和原根类似的使用试除法，首先根据欧拉定理肯定有 $ord(n)|\varphi(n)$ 。然后考虑对于 $\varphi(n)$ 的每个约数 $x$ 如果满足 $2^{\frac wx}\equiv 1(mod\ \ n)$ 就代表可以除去这个 $x$ 。

但是这样每次来搞还是很慢，这里还有一个挺显然的结论

g c d (x, y) = 1 \Rightarrow o r d (x \times y) = l c m (o r d (x), o r d (y))

$gcd(x,y)=1\Rightarrow ord(x\times y)=lcm(\ ord(x),ord(y)\ )$

证明的话首先定理 $a=lcm(x,y)$ ，再设一个 $2^b\equiv 1(mod\ xy)$ ，那么有 $2^{b-a}\equiv1(mod\ xy)$ ，然后这样更相减损下去最后就有 $2^{gcd(a,b)}\equiv 1(mod\ xy)$ ，所以如果 $b<a$ 那么有，然后因为 $a=lcm(x,y)$ 也就是这个就是新的最小的 $gcd$ 。

所以我们就只需要求出所有需要的 $ord(p^k)$ 就好了。

然后我们可以先枚举 $\sqrt R$ 以内的质数然后来给所有 $[L,R]$ 中的数质因数分解，然后对于里面的每个 $x$ 用搜索来求所有的约数。

1|3code

#pragma GCC optimize(2)
%:pragma GCC optimize(3)
%:pragma GCC optimize("Ofast")
%:pragma GCC optimize("inline")
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<map>
#include<vector>
#include<cctype>
#define ll __int128
using namespace std;
const ll N=1e5+10,P=1e9+7;
ll q,L,R,ans,tot,cnt,G;
ll pri[N],phi[N],mk[N][35],p[35],c[35];
bool v[N];vector<ll >cp[N];
map<ll,map<ll,ll> >mp;
ll read() {
	ll x=0,f=1; char c=getchar();
	while(!isdigit(c)) {if(c=='-')f=-f;c=getchar();}
	while(isdigit(c)) x=(x<<1)+(x<<3)+c-48,c=getchar();
	return x*f;
}
void print(ll x){
	if (x>9) print(x/10); putchar(x%10+48); return;
}
ll power(ll x,ll b,ll P){
	ll ans=1;
	while(b){
		if(b&1)ans=ans*x%P;
		x=x*x%P;b>>=1;
	}
	return ans;
}
ll ord(ll p,ll k){
	if(p<N&&mk[p][k])return mk[p][k];
	if(p>pri[cnt]&&mp[p][k])return mp[p][k];
	ll m=power(p,k,1e18),x,w=p-1;x=m/p*(p-1); 
	while(x%p==0){
		ll z=power(2,x/p,m);
		if(z!=1)break;x/=p;
	}
	if(w>=L&&w<=R+2){
		ll wz=w-L;
		for(ll wc=0;wc<cp[wz].size();wc++){
			ll i=cp[wz][wc];
			while(x%pri[i]==0){
				ll z=power(2,x/pri[i],m);
				if(z!=1)break;x/=pri[i];
			}
			while(w%pri[i]==0)w/=pri[i];
		} 
	}
	else{
		for(ll i=1;pri[i]*pri[i]<=w&&i<=cnt;i++){
			if(w%pri[i])continue;
			while(x%pri[i]==0){
				ll z=power(2,x/pri[i],m);
				if(z!=1)break;x/=pri[i];
			}
			while(w%pri[i]==0)w/=pri[i];
		}
	}
	if(w>1){
		if(x%w==0){
			ll z=power(2,x/w,m);
			if(z==1)x/=w;
		}
	}
	if(p<N)mk[p][k]=x;
	else mp[p][k]=x;
	return x;
}
void prime(){
	phi[1]=1;
	for(ll i=2;i<N;i++){
		if(!v[i])pri[++cnt]=i;
		for(ll j=1;j<=cnt&&i*pri[j]<N;j++){
			v[i*pri[j]]=1;
			if(i%pri[j]==0)break;
		}
	}
	return;
}
ll lcm(ll x,ll y){
	ll d=__gcd(x,y);
	return x*y/d;
}
void dfs(ll x,ll ph,ll od){
	if(x>tot){G+=ph/od;return;}
	dfs(x+1,ph,od);
	for(ll i=1,w=p[x];i<=c[x];i++)
		dfs(x+1,ph*(w/p[x]*(p[x]-1)),lcm(od,ord(p[x],i))),w=w*p[x];
	return;
}
ll work(ll n){
	tot=0;ll wz=n-L;
	for(ll w=0;w<cp[wz].size();w++){
		ll i=cp[wz][w];
		p[++tot]=pri[i];c[tot]=0;
		while(n%pri[i]==0)
			c[tot]++,n/=pri[i];
	}
	if(n>1)p[++tot]=n,c[tot]=1;
	G=-1;dfs(1,1,1);
	return G;
}
signed main()
{
//	freopen("language.in","r",stdin);
//	freopen("language.out","w",stdout);
//	scanf("%lld",&q);
	q=read();prime();
	while(q--){
//		scanf("%lld%lld",&L,&R);
		L=read();R=read();ans=0;
		for(ll i=0;i<=R-L+2;i++)cp[i].clear();
		for(ll i=1;i<=cnt;i++){
			ll x=pri[i],l=L/x,r=(R+2)/x;
			for(ll j=l;j<=r;j++){
				if(j*x<L||j*x>R+2)continue;
				cp[j*x-L].push_back(i);
			}
		}
		for(ll i=L/2;i<=R/2;i++){
			ll tmp=work(i*2ll+1);
			if(i*2ll>=L)ans=(ans+power(26,tmp,P))%P;
			if(i*2ll+1<=R)ans=(ans+power(26,tmp+1,P))%P;
		}
		print(ans);putchar('\n');
//		printf("%lld\n",ans);
	}
	return 0;
}

__EOF__

本文作者：QuantAsk
本文链接：https://www.cnblogs.com/QuantAsk/p/14427201.html
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