AT4996-[AGC034F]RNG and XOR【FWT,生成函数】

1|0正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/AT4996

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1|1题目大意

给出一个$0\sim 2^n-1$下标的数组$p$，$p_i$表示有$p_i$的权重概率选择$i$。

开始有一个$x=0$，每次选择一个数字$y$让$x=x\ xor\ y$

对于每个$i$求期望多久后第一次变成$i$。

$1\leq n\leq 18$

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1|2解题思路

搞一个异或卷积的生成函数，先搞出概率的函数$P$。

然后设$E$表示答案的函数，那么有

$$E\times P+I=E+c$$

$c$表示余项，$I(x)=\sum_{i=1}^{\infty}x^i$

先求出余项$c$来，设$S(A)$表示生成函数$A$的所有系数和

$$S(E)\times S(P)+S(I)=S(E)+c$$

$S(P)=1$，$S(I)=2^n$，那我们有$c=S(I)=2^n$

所以就有

$$E\times P+I=E+2^n$$

$$E\times (P-1)=2^n-I$$

$$FWT(E)=\frac{FWT(2^n-I)}{FWT(P-1)}$$

然后跑$FWT$就好了。

注意跑出来的$E_0\neq 0$，我们要把所有的答案减去$E_0$

时间复杂度$O(2^nn)$

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1|3code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=1<<19,P=998244353;
ll n,k,f[N],g[N];
ll power(ll x,ll b){
	ll ans=1;
	while(b){
		if(b&1)ans=ans*x%P;
		x=x*x%P;b>>=1;
	}
	return ans;
}
void FWT(ll *f,ll op){
	for(ll p=2;p<=n;p<<=1){
		ll len=(p>>1);
		for(ll k=0;k<n;k+=p)
			for(ll i=k;i<k+len;i++){
				ll x=f[i],y=f[i+len];
				f[i]=(x+y)*op%P;
				f[i+len]=(x-y+P)*op%P;
			}
	}
	return;
}
signed main()
{
	scanf("%lld",&k);n=1<<k;
	ll sum=0;
	for(ll i=0;i<n;i++){
		scanf("%lld",&f[i]);
		sum=(sum+f[i])%P;g[i]=P-1;
	}
	sum=power(sum,P-2);
	for(ll i=0;i<n;i++)f[i]=f[i]*sum%P;
	g[0]=(g[0]+n)%P;f[0]=(f[0]+P-1)%P;
	FWT(f,1);FWT(g,1);
	for(ll i=0;i<n;i++)
		f[i]=g[i]*power(f[i],P-2)%P;
	FWT(f,(P+1)/2);
	for(ll i=0;i<n;i++)
		printf("%lld\n",(f[i]-f[0]+P)%P);
	return 0;
}

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本文作者：QuantAsk
本文链接：https://www.cnblogs.com/QuantAsk/p/14409920.html
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